Subgroups — #27388505

Order 13568.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133237	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275605	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275467	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275420	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275416	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274526	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20274402	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133237	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#11719925	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₄×#11719924	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₄×#11719923	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₄×#11719922	C₄	1	2	yes	complemented
18	#16810684	—	2	2	no	—
19	#16810682	—	2	2	no	—
20	#16810680	—	2	2	no	—
21	#16810678	—	2	2	no	—
22	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810659	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810651	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810650	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810619	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810617	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810591	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810590	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
37	#16810383	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#104×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₅₃×#339	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#13133237	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719925	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#11719923	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#11719924	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#11719922	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
56	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#13133174	—	2	1	no	—
58	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
59	#13133152	—	2	4	no	—
60	#13133150	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#13133148	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
63	#13133146	—	2	4	no	—
64	#13133145	—	2	4	no	—
65	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#13133140	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#13133138	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#13133137	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
70	#13133129	—	2	4	no	—
71	#13133128	—	2	1	no	—
72	#13133128	—	2	4	no	—
73	#13133128	D₄	1	2	yes	—
74	#13133128	D₄	1	2	yes	—
75	C₄×#88322	—	2	1	no	—
76	C₄×#88322	—	2	4	no	—
77	C₄×#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₄×#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
85	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#104×C₅₃	—	2	4	no	—
90	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
92	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
93	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
94	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
104	#11719945	—	2	2	no	—
105	#11719945	—	2	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
111	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
124	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
125	#11719925	—	2	2	no	—
126	#11719924	—	2	2	no	—
127	#11719923	—	2	2	no	—
128	#11719922	—	2	2	no	—
129	#11719921	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	#11719919	—	2	2	no	—
132	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
134	#11719917	—	2	2	no	—
135	#11719917	—	2	2	no	—
136	C₂×#88322	—	2	2	no	—
137	C₂×#88322	—	2	2	no	—
138	C₂×#88322	—	2	2	no	—
139	C₂×#88322	—	2	2	no	—
140	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
145	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
148	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
149	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
150	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
151	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
152	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
166	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
169	D₂₁₂	—	2	1	no	—
170	D₂₁₂	—	2	1	no	—
171	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
173	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
174	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
175	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
176	#88322	—	2	2	no	—
177	#88322	—	2	4	no	—
178	#88322	—	4	2	no	—
179	#88322	#117	1	2	yes	—
180	#88322	#117	1	2	yes	—
181	#21295	—	53	1	no	maximal, Sylow
182	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
185	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₅₃	#529	1	2	yes	—
187	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
188	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
192	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
193	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
194	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₅₃	#532	1	2	yes	—
197	Dic₅₃	—	4	2	no	—
198	Dic₅₃	—	4	1	no	—
199	C₄×#135	—	53	1	no	—
200	#2923	—	53	1	no	—
201	#2923	—	53	1	no	—
202	#1975	—	53	2	no	—
203	#1946	—	53	2	no	—
204	#1937	—	53	2	no	—
205	#1937	—	53	2	no	—
206	C₄×#108	—	53	1	no	—
207	#1759	—	53	1	no	—
208	#1759	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
209	#1726	—	53	1	no	—
210	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
211	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
212	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₅₃	#2957	1	2	yes	—
214	D₅₃	—	8	1	no	—
215	C₂×#135	—	53	1	no	—
216	C₄×#41	—	53	1	no	—
217	C₄×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
219	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
220	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
221	C₄×D₈	—	53	2	no	—
222	#433	—	106	2	no	—
223	#433	—	106	2	no	—
224	#432	—	106	2	no	—
225	#432	—	106	2	no	—
226	C₂×#108	—	53	2	no	—
227	#427	—	53	1	no	—
228	#424	—	53	2	no	—
229	#424	—	53	2	no	—
230	C₂×#104	—	53	2	no	—
231	C₂×#104	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
232	#416	—	53	1	no	—
233	#416	—	53	1	no	—
234	#408	—	53	2	no	—
235	#408	—	53	2	no	—
236	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
237	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×#97	—	53	1	no	—
239	C₂×#97	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
241	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
242	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	#341	—	53	2	no	—
244	#339	—	53	2	no	—
245	#339	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₅₃	#21295	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
247	C₂×#41	—	53	1	no	—
248	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	#135	—	106	4	no	—
250	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
251	C₂×SD₁₆	—	53	1	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	53	1	no	—
253	C₂×D₈	—	53	1	no	—
254	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
255	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
257	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
258	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
259	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
260	C₄×Q₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₄×D₄	—	2	2	no	—
262	C₄×D₄	—	53	2	no	—
263	C₄×D₄	—	106	2	no	—
264	C₄×D₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
265	#117	—	2	1	no	—
266	#117	—	53	1	no	—
267	#117	—	106	1	no	—
268	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
271	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	#108	—	106	4	no	—
274	#107	—	53	2	no	—
275	#106	—	53	2	no	—
276	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
277	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
278	#104	—	2	4	no	—
279	#104	—	106	4	no	—
280	#103	—	53	2	no	—
281	#103	—	53	2	no	—
282	#102	—	53	2	no	—
283	#102	—	53	2	no	—
284	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
285	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
286	#97	—	2	1	no	—
287	#97	—	53	2	no	—
288	#97	—	53	2	no	—
289	#97	—	106	4	no	—
290	#97	—	106	1	no	—
291	C₄×C₈	—	2	1	no	—
292	C₄×C₈	—	53	2	no	—
293	C₄×C₈	—	53	2	no	—
294	C₄×C₈	—	106	4	no	—
295	C₄×C₈	—	106	1	no	—
296	#95	—	2	2	no	—
297	#41	—	2	2	no	—
298	#41	—	2	2	no	—
299	#41	—	106	2	no	—
300	#41	—	106	2	no	—
301	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
302	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₂×D₄	—	2	1	no	—
304	C₂×D₄	—	53	1	no	—
305	C₂×D₄	—	106	1	no	—
306	C₂×D₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
312	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
313	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	Q₁₆	—	106	2	no	—
315	SD₁₆	—	106	2	no	—
316	SD₁₆	—	106	2	no	—
317	D₈	—	106	2	no	—
318	M₁₆	—	2	2	no	—
319	M₁₆	—	2	2	no	—
320	M₁₆	—	106	2	no	—
321	M₁₆	—	106	2	no	—
322	C₂×C₈	—	2	2	no	—
323	C₂×C₈	—	53	1	no	—
324	C₂×C₈	—	53	1	no	—
325	C₂×C₈	—	53	4	no	—
326	C₂×C₈	—	53	2	no	—
327	C₂×C₈	—	53	4	no	—
328	C₂×C₈	—	106	2	no	—
329	C₂×C₈	—	106	2	no	—
330	C₂×C₈	—	106	2	no	—
331	C₂×C₈	—	106	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
335	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
336	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
340	C₄²	—	2	2	no	—
341	C₄²	—	2	1	no	—
342	C₄²	—	2	2	no	—
343	C₄²	—	106	2	no	—
344	C₄²	—	106	1	no	—
345	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
346	C₄²	#11719945	1	4	yes	—
347	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
348	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂³	—	2	1	no	—
350	C₂³	—	106	1	no	—
351	C₂³	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
352	Q₈	—	2	1	no	—
353	Q₈	—	2	1	no	—
354	Q₈	—	106	1	no	—
355	Q₈	—	106	1	no	—
356	D₄	—	2	1	no	—
357	D₄	—	2	1	no	—
358	D₄	—	4	2	no	—
359	D₄	—	106	1	no	—
360	D₄	—	106	1	no	—
361	D₄	—	212	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	106	2	no	—
370	C₂×C₄	—	106	1	no	—
371	C₂×C₄	—	424	2	no	—
372	C₂×C₄	—	212	2	no	—
373	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	53	2	no	—
381	C₈	—	53	2	no	—
382	C₈	—	106	2	no	—
383	C₈	—	106	4	no	—
384	C₈	—	212	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	212	1	no	—
389	C₂²	—	212	2	no	—
390	C₂²	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#16811153	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	4	1	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	212	1	no	—
398	C₄	—	212	2	no	—
399	C₄	#117×D₅₃	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₄×#11719945	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#16811170	1	2	yes	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	8	1	no	—
404	C₂	—	424	1	no	—
405	C₂	#20277178	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#20283628	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1759	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#13133237	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1759	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21295
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ #1759

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283367	C₂	semidirect
3. #20283366	C₂	semidirect
5. #20275467	C₂	semidirect
6. #20275420	C₂	semidirect
7. #20275416	C₂	semidirect
8. C₄×#13133152	C₂	semidirect
9. #20274526	C₂	semidirect
10. #20274402	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1759	C₂	semidirect
14. C₄×#11719925	C₄	semidirect
15. C₄×#11719924	C₄	semidirect
16. C₄×#11719923	C₄	semidirect
17. C₄×#11719922	C₄	semidirect
208. #1759	D₅₃	semidirect
246. C₅₃	#21295	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133237	2
#20283367	2
#20283366	2
#20275605	2
#20275467	2
#20275420	2
#20275416	2
C₄×#13133152	2
#20274526	2
#20274402	2
C₅₃×#1759	2
#21295	53