Subgroups — #27388516

Order 13568.

730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283516	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275609	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275422	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274623	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274527	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20274401	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#41×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810735	C₄	1	2	yes	complemented
14	#16810730	C₄	1	2	yes	complemented
15	#16810724	C₄	1	4	yes	complemented
16	#16810681	—	2	4	no	—
17	#16810673	—	2	4	no	—
18	C₂×#13133153	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810651	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810649	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133144	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810619	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810590	C₂²	1	2	yes	—
25	M₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#13133127	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#13133127	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810384	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810383	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#104×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#408	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	D₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	D₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#13133176	—	2	2	no	—
47	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#13133153	—	2	2	no	—
52	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#13133149	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#13133146	—	2	4	no	—
55	#13133146	—	2	4	no	—
56	#13133144	—	2	4	no	—
57	#13133141	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#13133138	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
60	#13133128	—	2	2	no	—
61	#13133127	—	2	2	no	—
62	#13133127	—	2	2	no	—
63	#13133127	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#13133127	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
67	C₈×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×D₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#108×C₅₃	—	2	2	no	—
80	#104×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
85	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
86	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
96	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
97	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
98	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
100	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
109	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
111	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
118	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
121	#11719917	—	2	2	no	—
122	#11719917	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	1	no	—
124	C₂×#88322	—	2	1	no	—
125	C₂×#88322	—	2	1	no	—
126	C₂×#88322	—	2	1	no	—
127	C₂×#88322	—	2	2	no	—
128	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
132	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
134	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
155	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₈×C₅₃	#117	1	2	yes	—
158	C₈×C₅₃	#117	1	2	yes	—
159	#88322	—	2	2	no	—
160	#88322	—	2	2	no	—
161	#88322	—	4	2	no	—
162	#21296	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#529	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#529	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
175	Dic₅₃	—	2	4	no	—
176	Dic₅₃	—	4	2	no	—
177	Dic₅₃	—	4	4	no	—
178	#2943	—	53	1	no	—
179	#2922	—	53	2	no	—
180	#1975	—	53	1	no	—
181	#1974	D₅₃	1	1	yes	characteristic
182	#1946	—	53	1	no	—
183	#1945	—	53	1	no	—
184	#1938	—	53	2	no	—
185	#1937	—	53	2	no	—
186	#1778	—	53	1	no	—
187	#1759	—	53	2	no	—
188	#1726	—	53	1	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
190	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
192	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#2955	1	2	yes	—
194	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₄×#41	—	53	2	no	—
196	#442	—	53	2	no	—
197	#441	—	53	2	no	—
198	#440	—	53	4	no	—
199	#433	—	106	4	no	—
200	#431	—	106	4	no	—
201	C₂×#108	—	53	1	no	—
202	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#427	—	53	1	no	—
204	#424	—	53	2	no	—
205	#424	—	53	2	no	—
206	C₂×#104	—	53	2	no	—
207	C₂×#104	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	#416	—	53	2	no	—
209	#408	—	53	2	no	—
210	#408	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
212	C₂×#97	—	53	1	no	—
213	C₂×#97	—	53	1	no	—
214	C₂×#97	—	53	1	no	—
215	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
216	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
217	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#376	—	53	1	no	—
219	#341	—	53	2	no	—
220	#339	—	53	2	no	—
221	#339	—	53	2	no	—
222	C₅₃	#21296	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
223	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	#135	—	2	2	no	—
225	#135	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₁₆	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂×SD₁₆	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₂×D₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
230	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
232	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
236	C₄×D₄	—	53	4	no	—
237	C₄×D₄	—	106	4	no	—
238	#117	—	53	2	no	—
239	#117	—	106	2	no	—
240	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
241	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
242	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#108	—	2	2	no	—
245	#108	—	106	2	no	—
246	#107	—	53	2	no	—
247	#106	—	53	2	no	—
248	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
249	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
250	#104	—	2	4	no	—
251	#104	—	106	4	no	—
252	#103	—	53	4	no	—
253	#102	—	53	4	no	—
254	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
256	#97	—	53	2	no	—
257	#97	—	53	2	no	—
258	#97	—	106	2	no	—
259	#97	—	106	2	no	—
260	#97	—	106	2	no	—
261	C₄×C₈	—	2	2	no	—
262	C₄×C₈	—	53	4	no	—
263	C₄×C₈	—	106	2	no	—
264	C₄×C₈	—	106	2	no	—
265	#95	—	106	2	no	—
266	#41	—	2	2	no	—
267	#41	—	2	2	no	—
268	#41	—	2	2	no	—
269	#41	—	2	2	no	—
270	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
278	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	Q₁₆	—	2	2	no	—
280	SD₁₆	—	2	4	no	—
281	D₈	—	2	2	no	—
282	M₁₆	—	2	2	no	—
283	M₁₆	—	2	2	no	—
284	M₁₆	—	106	2	no	—
285	M₁₆	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	53	2	no	—
290	C₂×C₈	—	53	2	no	—
291	C₂×C₈	—	106	1	no	—
292	C₂×C₈	—	106	1	no	—
293	C₂×C₈	—	106	1	no	—
294	C₂×C₈	—	106	1	no	—
295	C₂×C₈	—	106	2	no	—
296	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
301	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	53	2	no	—
307	C₄²	—	53	2	no	—
308	C₄²	—	53	2	no	—
309	C₄²	—	106	4	no	—
310	C₄²	—	106	2	no	—
311	C₄²	—	106	1	no	—
312	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	2	2	no	—
316	Q₈	—	2	2	no	—
317	D₄	—	2	2	no	—
318	D₄	—	2	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	53	4	no	—
327	C₂×C₄	—	106	4	no	—
328	C₂×C₄	—	106	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	8	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	106	2	no	—
341	C₈	—	106	2	no	—
342	C₈	—	212	2	no	—
343	C₈	#13133173	1	2	yes	—
344	C₈	#13133173	1	2	yes	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	C₄×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#16811152	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#16811154	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	106	4	no	—
354	C₄	—	212	2	no	—
355	C₄	—	212	4	no	—
356	C₄	C₂×#13133173	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₄×#11719947	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#16811168	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#16811171	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	8	2	no	—
363	C₂	#20277177	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20283613	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1974	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#135×C₅₃	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1974	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21296
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ #1974

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283355	C₂	semidirect
4. #20275466	C₂	semidirect
5. #20275463	C₂	semidirect
6. #20275423	C₂	semidirect
7. #20275422	C₂	semidirect
8. #20274623	C₂	semidirect
9. #20274527	C₂	semidirect
10. #20274401	C₂	semidirect
13. #16810735	C₄	semidirect
14. #16810730	C₄	semidirect
15. #16810724	C₄	semidirect
222. C₅₃	#21296	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283516	2
#20283355	2
#20275609	2
#20275466	2
#20275463	2
#20275423	2
#20275422	2
#20274623	2
#20274527	2
#20274401	2
C₅₃×#1974	2
#21296	53