Subgroups — #27388546

Order 13568.

1142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#13133127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275653	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274412	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274411	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₅₃×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16811176	—	2	4	no	—
12	#16811176	—	2	4	no	—
13	C₂×#13133216	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#13133208	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#13133194	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810646	—	2	4	no	—
20	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#13133127	—	2	4	no	—
22	C₂×#13133127	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
33	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
35	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
36	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
37	C₂²×#88322	Q₈	1	4	yes	complemented
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
40	#13133216	—	2	8	no	—
41	#13133208	—	2	8	no	—
42	#13133194	—	2	16	no	—
43	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
44	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
45	#13133176	—	2	2	no	—
46	#13133176	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	#13133146	—	2	8	no	—
59	#13133127	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
70	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
91	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
106	#11719919	—	2	8	no	—
107	#11719919	—	2	8	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	#11719917	—	4	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	8	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
147	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
152	#88322	—	2	4	no	—
153	#88322	—	4	2	no	—
154	#21301	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₅₃	#391	1	4	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
163	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
164	C₄×C₅₃	#391	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
169	Dic₅₃	—	2	4	no	—
170	Dic₅₃	—	2	4	no	—
171	Dic₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂×#533	—	53	1	no	—
173	C₂×#423	—	53	1	no	—
174	C₂²×#97	—	53	1	no	—
175	#1985	—	53	8	no	—
176	#1729	—	53	1	no	—
177	#1729	—	53	1	no	—
178	#1729	—	53	1	no	—
179	#1729	D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
183	C₂×C₅₃	#2961	1	2	yes	—
184	C₂×C₅₃	#2961	1	2	yes	—
185	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
186	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
188	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#533	—	106	4	no	—
190	#533	—	106	4	no	—
191	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
192	C₂×#125	—	53	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
194	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
195	C₂×#117	—	53	1	no	—
196	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
198	#423	—	106	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
200	C₂×#97	—	53	4	no	—
201	C₂×#97	—	106	4	no	—
202	#336	—	53	4	no	—
203	#336	—	53	4	no	—
204	#336	—	53	4	no	—
205	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
206	C₅₃	#21301	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
211	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
212	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
213	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
214	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
215	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
216	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
219	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
220	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
221	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
222	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
223	C₂²×C₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
224	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
227	#125	—	106	8	no	—
228	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
229	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
231	#117	—	2	2	no	—
232	#117	—	2	2	no	—
233	#117	—	106	2	no	—
234	#117	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
243	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
244	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
245	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
246	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
248	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
250	#97	—	106	8	no	—
251	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
259	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	212	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	53	4	no	—
277	C₂×C₈	—	106	8	no	—
278	C₂×C₈	—	106	2	no	—
279	C₂×C₈	—	106	2	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	—	106	2	no	—
283	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	53	4	no	—
294	C₄²	—	53	4	no	—
295	C₄²	—	53	4	no	—
296	C₄²	—	53	4	no	—
297	C₄²	—	106	2	no	—
298	C₄²	—	106	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
301	C₂³	#13133182	1	2	yes	—
302	C₂³	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	212	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	53	4	no	—
308	C₂×C₄	—	53	4	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	4	no	—
311	C₂×C₄	—	106	4	no	—
312	C₂×C₄	—	106	8	no	—
313	C₂×C₄	—	212	8	no	—
314	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133182	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#13133194	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#13133203	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133216	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	—	106	4	no	—
330	C₈	—	212	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	#16810527	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×C₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#16811388	1	4	yes	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	106	4	no	—
341	C₄	—	106	4	no	—
342	C₄	—	212	4	no	—
343	C₄	#16810527	1	4	yes	—
344	C₄	C₂×#13133194	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#13133195	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#13133203	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#13133216	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	C₂×#16810527	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20283157	1	2	yes	—
351	C₂	#20283653	1	2	yes	—
352	C₂	#20283654	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1729	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1729	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21301
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1729

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275653	C₂	semidirect
37. C₂²×#88322	Q₈	semidirect
66. C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	semidirect
206. C₅₃	#21301	semidirect
223. C₂²×C₈	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811176	2
C₂×#16810646	2
C₂²×#13133127	2
#20275653	2
#20274413	2
#20274412	2
#20274411	2
C₅₃×#1729	2
#21301	53