Subgroups — #27388554

Order 13568.

1170 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275655	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275651	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274413	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
8	#16811180	—	2	4	no	—
9	#16811180	—	2	4	no	—
10	C₂×#13133217	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133217	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133209	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#13133196	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#13133196	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
30	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133217	—	2	4	no	—
33	#13133217	—	2	4	no	—
34	#13133209	—	2	8	no	—
35	#13133196	—	2	8	no	—
36	#13133196	—	2	8	no	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
38	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
40	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
41	#13133176	—	2	4	no	—
42	#13133176	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
52	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	Q₈	1	8	yes	complemented
59	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
89	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
93	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	#11719919	—	2	8	no	—
105	#11719919	—	2	8	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	8	no	—
110	C₂×#88322	—	4	8	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
139	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
140	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
141	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
142	#88322	—	4	4	no	—
143	#21302	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₅₃	#391	1	4	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
151	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	#391	1	4	yes	—
156	C₄×C₅₃	#408	1	4	yes	—
157	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
160	Dic₅₃	—	4	4	no	—
161	Dic₅₃	—	4	4	no	—
162	C₂×#533	—	53	1	no	—
163	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
164	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	#1985	—	53	4	no	—
166	#1984	—	53	4	no	—
167	#1729	—	53	4	no	—
168	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₅₃	#2879	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#2962	1	4	yes	—
173	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
174	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
175	#533	—	106	4	no	—
176	#533	—	106	4	no	—
177	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
178	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×#125	—	53	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
182	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
183	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
184	C₂×#117	—	53	2	no	—
185	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
189	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
190	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	#336	—	53	16	no	—
193	C₅₃	#21302	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
194	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
195	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
196	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
200	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
201	C₂×M₁₆	Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
202	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
203	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
205	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
206	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
207	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
208	#125	—	106	8	no	—
209	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
210	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
211	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
212	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
214	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
215	#117	—	106	4	no	—
216	#117	—	106	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
224	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
225	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
232	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
233	#97	—	2	4	no	—
234	C₄×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
244	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	M₁₆	—	2	16	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	106	4	no	—
260	C₂×C₈	—	106	8	no	—
261	C₂×C₈	—	212	8	no	—
262	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	8	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
270	C₄²	—	106	4	no	—
271	C₄²	—	106	4	no	—
272	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
273	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
274	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
276	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
281	C₂³	C₄×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	212	8	no	—
284	Q₈	—	212	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	106	4	no	—
291	C₂×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂×C₄	—	106	8	no	—
293	C₂×C₄	—	106	8	no	—
294	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#13133196	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	#13133205	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#13133217	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
308	C₈	—	2	8	no	—
309	C₈	—	212	4	no	—
310	C₂²	—	2	8	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	#16810529	1	4	yes	—
314	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
317	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	212	4	no	—
322	C₄	—	212	4	no	—
323	C₄	#16810529	1	4	yes	—
324	C₄	#16810591	1	4	yes	—
325	C₄	C₂×#13133196	1	2	yes	—
326	C₄	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
327	C₄	C₂×#13133217	1	1	yes	characteristic
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	C₂×#16810529	1	1	yes	characteristic
330	C₂	C₂×#16810591	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20283159	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20283662	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21302
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275655	C₂	semidirect
4. #20275651	C₂	semidirect
58. C₂×M₁₆×C₅₃	Q₈	semidirect
193. C₅₃	#21302	semidirect
201. C₂×M₁₆	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂²×C₄⋊#88322	2
#20275655	2
#20275651	2
#20274413	2
C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	2
#21302	53