Subgroups — #27388560

Order 13568.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275655	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275651	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274408	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810647	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	8	no	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
38	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
40	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
41	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
46	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
52	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
53	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	Q₈	1	8	yes	complemented
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	M₁₆	1	8	yes	complemented
96	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
100	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	#11719919	—	2	8	no	—
109	#11719919	—	2	8	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	#11719917	—	4	8	no	—
114	C₂×#88322	—	2	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
147	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
148	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
149	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
150	#88322	—	4	4	no	—
151	#21303	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₅₃	#391	1	4	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
159	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	#391	1	4	yes	—
164	C₄×C₅₃	#407	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
166	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	Dic₅₃	—	2	8	no	—
169	Dic₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
171	C₂×#423	—	53	1	no	—
172	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	#1985	—	53	4	no	—
174	#1984	—	53	4	no	—
175	#1728	—	53	4	no	—
176	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#2879	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	Q₈×M₁₆	1	4	yes	—
181	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
182	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
183	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
185	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
186	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
188	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
189	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
190	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
191	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
192	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
193	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#423	—	106	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
197	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
198	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#336	—	53	16	no	—
201	C₅₃	#21303	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
202	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
203	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
204	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
208	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
212	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
213	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
214	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
215	C₂×M₁₆	Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
216	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
217	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
218	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
219	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
220	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
221	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
222	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
223	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
230	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
231	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
232	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
233	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
234	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
237	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
238	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
241	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
242	#97	—	2	4	no	—
243	C₄×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
259	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	M₁₆	—	2	16	no	—
272	M₁₆	—	212	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	106	4	no	—
276	C₂×C₈	—	106	8	no	—
277	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
278	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
282	C₄²	—	106	8	no	—
283	C₄²	—	106	4	no	—
284	C₄²	—	106	4	no	—
285	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
286	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
287	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
294	C₂³	C₄×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	106	16	no	—
297	Q₈	—	106	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	53	8	no	—
304	C₂×C₄	—	106	16	no	—
305	C₂×C₄	—	106	4	no	—
306	C₂×C₄	—	106	4	no	—
307	C₂×C₄	—	106	4	no	—
308	C₂×C₄	—	106	8	no	—
309	C₂×C₄	—	212	8	no	—
310	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₄×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#13133196	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#13133205	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#13133217	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
324	C₈	—	2	8	no	—
325	C₈	—	212	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	#16810529	1	4	yes	—
330	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
333	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	106	8	no	—
338	C₄	—	212	4	no	—
339	C₄	#16810529	1	4	yes	—
340	C₄	#16810586	1	4	yes	—
341	C₄	C₂×#13133196	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×#13133217	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	C₂×#16810529	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#16810586	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20283159	1	1	yes	characteristic
348	C₂	M₁₆×Dic₁₀₆	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21303
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275655	C₂	semidirect
4. #20275651	C₂	semidirect
59. C₂×M₁₆×C₅₃	Q₈	semidirect
95. C₂×Dic₁₀₆	M₁₆	semidirect
99. C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	semidirect
201. C₅₃	#21303	semidirect
215. C₂×M₁₆	Dic₁₀₆	semidirect
277. C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810647	2
#20275655	2
#20275651	2
#20274408	2
C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	2
#21303	53