Subgroups — #27388654

Order 13568.

1206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 276 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275681	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275677	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274431	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂×C₅₃×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×#88322	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810483	—	2	2	no	—
15	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
16	#16810385	C₂²	1	16	yes	—
17	C₅₃×#533	—	2	4	no	—
18	C₅₃×#533	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
23	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
26	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
27	C₂²×#88322	Q₈	1	8	yes	complemented
28	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
29	#13133176	—	2	8	no	—
30	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
31	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
34	C₄×#88322	—	2	4	no	—
35	C₄×#88322	—	2	4	no	—
36	#13133124	—	2	4	no	—
37	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
41	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
43	#125×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
45	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
46	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
47	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
73	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
74	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
75	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
78	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
80	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
87	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
88	C₂×#88322	—	2	16	no	—
89	C₂×#88322	—	2	4	no	—
90	C₂×#88322	—	2	4	no	—
91	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	8	yes	—
92	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
95	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
96	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
97	Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	8	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	8	yes	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
114	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
116	#88322	—	2	8	no	—
117	#21318	—	53	1	no	maximal, Sylow
118	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₅₃	#391	1	4	yes	—
122	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	4	yes	—
126	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
128	C₄×C₅₃	#391	1	4	yes	—
129	C₄×C₅₃	#416	1	8	yes	—
130	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
131	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
132	Dic₅₃	—	8	4	no	—
133	C₂×#533	D₅₃	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄×C₈	—	53	1	no	—
135	#2285	—	53	1	no	—
136	#1991	—	53	4	no	—
137	#1990	—	53	4	no	—
138	#1735	—	53	4	no	—
139	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₅₃	C₂×#416	1	2	yes	—
142	C₂×C₅₃	#3131	1	2	yes	—
143	C₂×C₅₃	#3160	1	2	yes	—
144	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
145	#533	—	2	4	no	—
146	#533	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
147	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
148	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×#117	—	53	2	no	—
152	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
155	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
156	C₂×C₄×C₈	—	106	4	no	—
157	#384	—	53	2	no	—
158	#382	—	53	2	no	—
159	#380	—	106	2	no	—
160	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
161	#340	—	53	16	no	—
162	C₅₃	#21318	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
163	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
167	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
168	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
169	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
172	#125	—	2	4	no	—
173	#125	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	106	8	no	—
178	#117	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₈	—	106	4	no	—
194	C₄×C₈	—	106	4	no	—
195	#95	—	106	4	no	—
196	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
202	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₈	—	53	8	no	—
212	C₂×C₈	—	106	16	no	—
213	C₂×C₈	—	106	4	no	—
214	C₂×C₈	—	106	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
220	C₄⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
223	C₄²	—	2	8	no	—
224	C₄²	—	212	4	no	—
225	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
226	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
227	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
228	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
229	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
232	C₂³	#13133206	1	2	yes	—
233	C₂³	#13133215	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	Q₈	—	4	16	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂×C₄	—	212	4	no	—
241	C₂×C₄	—	212	8	no	—
242	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
245	C₂×C₄	Q₈×Dic₅₃	1	8	yes	—
246	C₂×C₄	#13133193	1	8	yes	—
247	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	#13133237	1	8	yes	—
250	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
254	C₈	—	106	8	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	2	4	no	—
258	C₂²	#16810530	1	4	yes	—
259	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	C₂×#13133237	1	4	yes	—
263	C₄	—	2	4	no	—
264	C₄	—	4	8	no	—
265	C₄	—	424	4	no	—
266	C₄	#16810530	1	4	yes	—
267	C₄	#16810619	1	8	yes	—
268	C₄	C₂×Q₈×Dic₅₃	1	2	yes	—
269	C₄	C₂×#13133193	1	2	yes	—
270	C₂	—	2	4	no	—
271	C₂	C₂×#16810530	1	1	yes	characteristic
272	C₂	C₂×#16810619	1	2	yes	—
273	C₂	#20285040	1	2	yes	—
274	C₂	#20285225	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#533	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#533	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21318
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#533

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275681	C₂	semidirect
4. #20275677	C₂	semidirect
18. C₅₃×#533	C₄	semidirect
27. C₂²×#88322	Q₈	semidirect
146. #533	Dic₅₃	semidirect
162. C₅₃	#21318	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#88322	2
#20277122	2
#20275681	2
#20275677	2
#20274431	2
C₂×C₅₃×#533	2
#21318	53