Subgroups — #27388768

Order 13568.

1062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811251	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283134	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275707	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275703	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274453	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#16810391	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	#16811251	—	2	4	no	—
10	#16811251	—	2	4	no	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133216	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133208	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#13133194	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810579	—	2	4	no	—
19	C₄×#11719917	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810391	C₂²	1	8	yes	—
21	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#424	—	2	4	no	—
26	C₅₃×#423	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
30	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
31	C₂×#11719917	Q₈	1	8	yes	complemented
32	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
34	#13133217	—	2	4	no	—
35	#13133217	—	2	4	no	—
36	#13133216	—	2	8	no	—
37	#13133209	—	2	4	no	—
38	#13133209	—	2	4	no	—
39	#13133208	—	2	8	no	—
40	#13133194	—	2	16	no	—
41	#13133176	—	2	2	no	—
42	#13133176	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#13133128	—	2	4	no	—
55	C₄×#88322	—	2	4	no	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
61	#117×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
62	#117×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	8	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
84	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
85	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
91	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
102	#11719919	—	2	8	no	—
103	#11719919	—	2	8	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	#11719917	—	2	8	no	—
106	#11719917	—	2	4	no	—
107	#11719917	C₂×Q₈	1	8	yes	—
108	C₂×#88322	—	2	8	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
112	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
136	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
138	#88322	—	2	8	no	—
139	#21338	—	53	1	no	maximal, Sylow
140	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₅₃	#391	1	4	yes	—
146	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
148	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₄×C₅₃	#391	1	4	yes	—
151	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
152	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
153	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
154	Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×#544	—	53	1	no	—
158	#2905	D₅₃	1	1	yes	characteristic
159	#2873	—	53	1	no	—
160	#1998	—	53	4	no	—
161	#1997	—	53	4	no	—
162	#1742	—	53	2	no	—
163	C₂×#343	—	53	2	no	—
164	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	#2888	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#2889	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
170	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
171	#544	—	106	4	no	—
172	#544	—	106	4	no	—
173	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
174	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
175	C₂×#125	—	53	2	no	—
176	C₂×#125	—	53	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
178	C₂×#117	—	53	1	no	—
179	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
181	#424	—	2	4	no	—
182	#423	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
183	#405	—	106	4	no	—
184	C₄×M₁₆	—	53	4	no	—
185	#343	—	53	8	no	—
186	#343	—	53	4	no	—
187	#343	—	53	4	no	—
188	C₅₃	#21338	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
190	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
191	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
193	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
194	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
195	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
196	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
197	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
198	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
199	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
201	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
202	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
203	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
204	#125	—	106	8	no	—
205	#125	—	106	4	no	—
206	#125	—	106	4	no	—
207	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
208	#117	—	106	2	no	—
209	#117	—	106	2	no	—
210	#117	D₂₁₂	1	4	yes	—
211	#117	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	#97	—	106	4	no	—
229	C₄×C₈	—	106	4	no	—
230	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	424	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	2	8	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	53	8	no	—
249	M₁₆	—	106	8	no	—
250	M₁₆	—	106	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	106	8	no	—
254	C₂×C₈	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
265	C₄⋊C₄	#11719921	1	4	yes	—
266	C₄⋊C₄	#11719921	1	4	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	#11719921	1	8	yes	—
269	C₄²	—	106	4	no	—
270	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
272	C₂³	—	4	1	no	—
273	C₂³	—	4	1	no	—
274	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
275	C₂³	#13133182	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	424	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	106	2	no	—
281	C₂×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂×C₄	—	106	4	no	—
283	C₂×C₄	—	424	4	no	—
284	C₂×C₄	—	212	2	no	—
285	C₂×C₄	—	212	4	no	—
286	C₂×C₄	—	212	2	no	—
287	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#13133182	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#13133197	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#13133197	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#13133204	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#13133215	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	—	106	8	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	#16810528	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#13133182	1	2	yes	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	212	4	no	—
312	C₄	—	212	2	no	—
313	C₄	—	212	2	no	—
314	C₄	#16810528	1	4	yes	—
315	C₄	C₂×#13133197	1	2	yes	—
316	C₄	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
317	C₄	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
318	C₂	—	2	4	no	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	C₂×#16810528	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#20283193	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20283197	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719921
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2905	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2905	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21338
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ #2905

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275707	C₂	semidirect
4. #20275703	C₂	semidirect
31. C₂×#11719917	Q₈	semidirect
188. C₅₃	#21338	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811251	2
#20283134	2
#20275707	2
#20275703	2
#20274453	2
C₂×#16810391	2
C₅₃×#2905	2
#21338	53