Subgroups — #27389010

Order 13568.

826 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810684	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277071	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275481	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274912	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274902	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274613	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133150	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₅₃×#2314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810684	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄⋊C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
22	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
25	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#388	—	2	2	no	—
31	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#380	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	#13133176	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	#13133150	—	2	4	no	—
49	#13133150	—	2	4	no	—
50	#13133150	—	2	4	no	—
51	#13133148	—	2	4	no	—
52	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	#13133128	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₄×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	#13133124	—	2	2	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#117×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
72	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	8	2	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
94	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
95	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
96	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
97	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
106	C₄⋊Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
110	C₂×#88322	—	2	2	no	—
111	C₂×#88322	—	2	2	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
150	#88322	—	2	4	no	—
151	#88322	—	2	4	no	—
152	#21368	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
158	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
163	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#533	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	4	4	no	—
171	Dic₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂×#433	—	53	1	no	—
173	#2314	D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	#2274	—	53	1	no	—
175	#1949	—	53	2	no	—
176	#1947	—	53	2	no	—
177	#1854	—	53	2	no	—
178	#1852	—	53	2	no	—
179	#1776	—	53	2	no	—
180	C₄×#107	—	53	2	no	—
181	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₂×C₅₃	#2296	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#2913	1	2	yes	—
184	C₂×C₅₃	#3122	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#3124	1	2	yes	—
186	C₂×C₅₃	#3127	1	1	yes	characteristic
187	C₂×#117	—	53	1	no	—
188	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
190	#433	—	53	8	no	—
191	C₂×#107	—	53	2	no	—
192	C₂×#107	—	53	2	no	—
193	C₂×#107	—	53	2	no	—
194	C₂×#106	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
197	C₂×#97	—	53	1	no	—
198	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
199	#388	—	2	2	no	—
200	#387	—	2	2	no	—
201	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#380	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
205	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
206	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
207	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
209	#340	—	53	2	no	—
210	#340	—	53	2	no	—
211	#340	—	53	2	no	—
212	#340	—	53	2	no	—
213	C₅₃	#21368	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
214	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
217	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
218	#117	—	106	4	no	—
219	#117	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
220	#117	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
227	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
231	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
234	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#107	—	106	4	no	—
239	#107	—	106	4	no	—
240	#107	—	106	4	no	—
241	#106	—	106	4	no	—
242	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
243	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
244	#97	—	53	4	no	—
245	C₄×C₈	—	53	4	no	—
246	#95	—	2	2	no	—
247	#95	—	2	2	no	—
248	#95	—	2	2	no	—
249	#95	—	106	2	no	—
250	#95	—	106	2	no	—
251	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	—	53	4	no	—
267	C₂×C₈	—	53	4	no	—
268	C₂×C₈	—	106	2	no	—
269	C₂×C₈	—	106	2	no	—
270	C₂×C₈	—	106	2	no	—
271	C₂×C₈	—	106	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
282	C₄⋊C₄	#11719919	1	8	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	#11719919	1	8	yes	—
286	C₄²	—	8	2	no	—
287	C₄²	—	106	4	no	—
288	C₄²	—	424	2	no	—
289	C₄²	—	424	2	no	—
290	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	1	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	C₂×#11719919	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	106	4	no	—
315	C₂×C₄	—	106	4	no	—
316	C₂×C₄	—	424	4	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	—	212	2	no	—
321	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
328	C₈	—	106	4	no	—
329	C₈	—	106	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	C₂²×#11719919	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#16811130	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811130	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#16811426	1	2	yes	—
339	C₂²	#16811438	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	—	212	4	no	—
346	C₄	—	212	4	no	—
347	C₄	#16811091	1	2	yes	—
348	C₄	#16811176	1	2	yes	—
349	C₂	—	4	2	no	—
350	C₂	#20277197	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#20283313	1	2	yes	—
352	C₂	#20284953	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20284971	1	2	yes	—
354	C₂	#20285010	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2314	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2314	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21368
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ #2314

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275481	C₂	semidirect
4. #20275471	C₂	semidirect
7. #20274613	C₂	semidirect
8. C₄×#13133150	C₂	semidirect
12. #16810684	C₄	semidirect
52. C₄⋊#88322	C₂×C₄	semidirect
54. #13133128	C₂×C₄	semidirect
55. C₄×#88322	C₂×C₄	semidirect
213. C₅₃	#21368	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810684	2
#20277071	2
#20275481	2
#20275471	2
#20274912	2
#20274902	2
#20274613	2
C₄×#13133150	2
C₅₃×#2314	2
#21368	53