Subgroups — #27389535

Order 13568.

688 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275326	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275319	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275277	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275270	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274573	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274573	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20274482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133174	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133129	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133129	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810514	C₄	1	2	yes	—
22	#16810514	C₄	1	2	yes	—
23	#16810507	C₄	1	2	yes	—
24	#16810507	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×#11719919	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#11719919	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#11719921	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#11719921	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133174	—	2	2	no	—
43	#13133174	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#13133146	—	2	4	no	—
56	#13133146	—	2	4	no	—
57	#13133129	—	2	4	no	—
58	#13133129	—	2	4	no	—
59	#13133128	—	2	2	no	—
60	#13133128	—	2	2	no	—
61	#13133128	—	2	4	no	—
62	C₄×#88322	—	2	4	no	—
63	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
105	#11719921	—	2	2	no	—
106	#11719921	—	2	2	no	—
107	#11719921	—	2	4	no	—
108	#11719921	—	4	2	no	—
109	#11719919	—	2	2	no	—
110	#11719919	—	2	2	no	—
111	#11719919	—	2	4	no	—
112	#11719919	—	4	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
122	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
157	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
158	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
160	#88322	—	2	4	no	—
161	#88322	—	2	4	no	—
162	#21434	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
168	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
169	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
178	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
179	Dic₅₃	—	4	1	no	—
180	Dic₅₃	—	4	1	no	—
181	Dic₅₃	—	4	2	no	—
182	Dic₅₃	—	4	2	no	—
183	Dic₅₃	—	4	1	no	—
184	#2298	—	53	1	no	—
185	#1924	—	53	2	no	—
186	#1923	—	53	2	no	—
187	#1917	—	53	2	no	—
188	#1916	—	53	2	no	—
189	#1768	—	53	1	no	—
190	#1768	—	53	1	no	—
191	#1750	—	53	1	no	—
192	#1750	—	53	1	no	—
193	#1744	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
194	C₄×#97	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	#2298	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#2922	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#2923	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#2968	1	2	yes	—
199	C₂×C₅₃	#2969	1	2	yes	—
200	D₅₃	—	8	1	no	—
201	C₂×#117	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
206	C₂×#97	—	53	2	no	—
207	C₂×#97	—	53	1	no	—
208	C₂×#97	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	#388	—	53	2	no	—
213	#388	—	53	2	no	—
214	#387	—	53	2	no	—
215	#387	—	53	2	no	—
216	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
217	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
218	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
219	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
220	#376	—	53	1	no	—
221	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#336	—	53	2	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	#336	—	53	2	no	—
225	#336	—	53	2	no	—
226	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₅₃	#21434	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
229	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
230	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
234	#117	—	106	2	no	—
235	#117	—	106	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
245	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
246	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
247	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
253	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
254	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
255	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
256	#97	—	106	4	no	—
257	#97	—	106	2	no	—
258	#97	—	106	2	no	—
259	C₄×C₈	—	2	2	no	—
260	C₄×C₈	—	2	2	no	—
261	C₄×C₈	—	106	4	no	—
262	#95	—	53	2	no	—
263	#95	—	53	2	no	—
264	#95	—	53	2	no	—
265	#95	—	53	2	no	—
266	#95	—	53	2	no	—
267	#95	—	53	2	no	—
268	C₂⁴	—	53	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
278	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	53	4	no	—
290	C₂×C₈	—	53	4	no	—
291	C₂×C₈	—	106	2	no	—
292	C₂×C₈	—	106	2	no	—
293	C₂×C₈	—	106	2	no	—
294	C₂×C₈	—	106	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	106	2	no	—
308	C₄²	—	106	2	no	—
309	C₄²	—	106	1	no	—
310	C₄²	—	106	1	no	—
311	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
312	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
313	C₂³	—	106	1	no	—
314	C₂³	—	106	1	no	—
315	C₂³	—	106	1	no	—
316	C₂³	—	106	2	no	—
317	C₂³	—	106	2	no	—
318	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	1	no	—
327	C₂×C₄	—	106	1	no	—
328	C₂×C₄	—	106	1	no	—
329	C₂×C₄	—	106	2	no	—
330	C₂×C₄	—	106	2	no	—
331	C₂×C₄	—	106	1	no	—
332	C₂×C₄	—	106	1	no	—
333	C₂×C₄	—	106	2	no	—
334	C₂×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	106	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	2	no	—
337	C₂×C₄	—	106	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	4	2	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	—	106	4	no	—
351	C₈	—	106	4	no	—
352	C₂²	—	212	2	no	—
353	C₂²	—	212	2	no	—
354	C₂²	—	212	1	no	—
355	C₂²	—	212	1	no	—
356	C₂²	—	212	1	no	—
357	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#16811091	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#16811091	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
361	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	212	2	no	—
367	C₄	—	212	2	no	—
368	C₄	—	212	1	no	—
369	C₄	—	212	1	no	—
370	C₄	—	212	1	no	—
371	C₄	#16811151	1	2	yes	—
372	C₄	#16811151	1	2	yes	—
373	C₂	—	424	1	no	—
374	C₂	#20277210	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#20283357	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20283364	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20283704	1	2	yes	—
378	C₂	#20283713	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1744	C₂
prime radical	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1744	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21434
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275277	C₂	semidirect
5. #20275270	C₂	semidirect
6. #20274573	C₂	semidirect
7. #20274573	C₂	semidirect
10. C₄×#13133128	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1744	C₂	semidirect
193. #1744	D₅₃	semidirect
228. C₅₃	#21434	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277212	2
#20275326	2
#20275319	2
#20275277	2
#20275270	2
#20274573	2
#20274482	2
C₄×#13133128	2
C₅₃×#1744	2
#21434	53