Subgroups — #27389584

Order 13568.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810686	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	C₄×#13133186	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275005	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#20274892	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#20274489	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1779	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×#88322	—	2	12	no	—
9	C₂³×#88322	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂³×#88322	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#13133186	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	3	yes	—
14	#16810686	—	2	12	no	—
15	C₂×#13133146	C₂²	1	3	yes	complemented
16	C₂×#13133129	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	complemented
18	#16810502	C₄	1	3	yes	—
19	#16810496	C₄	1	3	yes	—
20	#16810479	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
22	#16810377	C₂²	1	6	yes	complemented
23	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
27	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#88322	—	2	32	no	—
29	C₂²×#88322	—	2	12	no	—
30	C₂²×#88322	—	2	12	no	—
31	C₂²×#88322	—	2	6	no	—
32	C₂²×#88322	D₄	1	12	yes	complemented
33	C₂²×#88322	C₂³	1	3	yes	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₈×D₅₃	—	2	6	no	—
36	#13133186	C₈	1	8	yes	complemented
37	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
38	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
39	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	3	yes	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
41	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
43	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
45	#13133146	—	2	6	no	—
46	#13133129	—	2	6	no	—
47	C₈×Dic₅₃	—	2	6	no	—
48	#13133124	C₂×C₄	1	6	yes	—
49	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	6	no	—
57	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	6	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
59	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
61	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
62	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	6	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
74	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
75	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₈	1	12	yes	complemented
76	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	3	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	3	no	—
81	C₂×C₈×C₅₃	—	2	3	no	—
82	C₂×C₈×C₅₃	—	2	3	no	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	6	no	—
84	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
85	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
86	C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₈	1	12	yes	complemented
87	#11719921	—	2	6	no	—
88	#11719919	—	2	6	no	—
89	C₄×Dic₅₃	—	2	3	no	—
90	C₄×Dic₅₃	—	2	3	no	—
91	C₂×#88322	—	2	24	no	—
92	C₂×#88322	—	2	6	no	—
93	C₂×#88322	—	2	24	no	—
94	C₂×#88322	C₂×D₄	1	6	yes	—
95	C₂×#88322	C₂×D₄	1	6	yes	—
96	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	24	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	24	no	—
102	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	6	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	6	yes	—
104	C₂³×C₅₃	#131	1	6	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	2	3	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	3	no	—
108	C₂²×D₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	complemented
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	6	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	3	yes	—
117	C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
123	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	6	yes	complemented
124	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
125	C₄×D₅₃	—	4	3	no	—
126	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
127	C₈×C₅₃	—	4	3	no	—
128	#88322	—	2	6	no	—
129	#88322	#120	1	4	yes	complemented
130	C₈×#120	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	—	2	32	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
133	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
134	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
136	C₂²×C₅₃	C₈×D₄	1	12	yes	complemented
137	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
138	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	3	yes	—
140	C₂×D₅₃	—	2	6	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	3	no	—
142	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
143	C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
144	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₅₃	#525	1	3	yes	—
146	Dic₅₃	—	2	6	no	—
147	Dic₅₃	—	4	3	no	—
148	Dic₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂⁴×C₈	—	53	1	no	—
150	C₂×C₈×D₄	—	53	3	no	—
151	C₄×#120	—	53	1	no	—
152	#1869	—	53	3	no	—
153	#1850	—	53	3	no	—
154	#1779	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
155	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
156	C₂×C₅₃	—	2	12	no	—
157	C₂×C₅₃	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₅₃	C₂×C₈×D₄	1	3	yes	—
159	C₂×C₅₃	#2929	1	3	yes	—
160	D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₈	—	53	3	no	—
163	C₂³×C₈	—	53	3	no	—
164	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
165	C₂³×C₈	—	106	12	no	—
166	C₂×#120	—	53	1	no	—
167	C₂×C₄×D₄	—	53	3	no	—
168	C₈×D₄	—	106	12	no	—
169	C₂×C₄⋊C₈	—	53	3	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	3	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
173	C₂×C₄×C₈	—	53	3	no	—
174	#386	—	53	3	no	—
175	#385	—	53	3	no	—
176	#379	—	53	1	no	—
177	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
178	#336	—	53	6	no	—
179	C₅₃	C₈×#120	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
180	C₂⁵	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×D₄	—	53	3	no	—
182	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
183	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
184	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
185	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	3	yes	—
186	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
187	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₈	—	53	12	no	—
189	C₂²×C₈	—	53	3	no	—
190	C₂²×C₈	—	106	6	no	—
191	C₂²×C₈	—	106	12	no	—
192	C₂²×C₈	—	106	12	no	—
193	C₂²×C₈	—	106	32	no	—
194	C₂²×C₈	—	106	6	no	—
195	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
197	#120	—	53	8	no	—
198	C₄×D₄	—	106	6	no	—
199	C₄×D₄	—	106	6	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	53	3	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
205	C₂×C₄²	—	53	3	no	—
206	C₄⋊C₈	—	106	6	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	106	6	no	—
210	C₄×C₈	—	106	6	no	—
211	#95	—	53	6	no	—
212	C₂⁴	—	2	6	no	—
213	C₂⁴	—	2	6	no	—
214	C₂⁴	—	53	1	no	—
215	C₂⁴	C₈×D₅₃	1	4	yes	complemented
216	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	3	yes	—
217	C₂×D₄	—	53	12	no	—
218	C₂×D₄	—	106	6	no	—
219	C₂×D₄	—	106	6	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	53	3	no	—
227	C₂²×C₄	—	53	3	no	—
228	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	3	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	3	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	3	yes	—
232	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	6	yes	—
233	C₂²×C₄	#11719947	1	6	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	—	2	3	no	—
236	C₂×C₈	—	2	3	no	—
237	C₂×C₈	—	2	6	no	—
238	C₂×C₈	—	53	6	no	—
239	C₂×C₈	—	53	6	no	—
240	C₂×C₈	—	106	24	no	—
241	C₂×C₈	—	106	24	no	—
242	C₂×C₈	—	106	6	no	—
243	C₂×C₈	—	212	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	106	6	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	106	6	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	106	6	no	—
249	C₄²	—	106	3	no	—
250	C₄²	—	106	3	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	24	no	—
253	C₂³	—	2	6	no	—
254	C₂³	—	2	6	no	—
255	C₂³	—	2	24	no	—
256	C₂³	—	53	2	no	—
257	C₂³	—	106	3	no	—
258	C₂³	—	106	3	no	—
259	C₂³	#13133177	1	6	yes	—
260	C₂³	C₂×C₈×D₅₃	1	6	yes	—
261	C₂³	#13133225	1	6	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	D₄	—	106	24	no	—
264	C₂×C₄	—	2	24	no	—
265	C₂×C₄	—	2	6	no	—
266	C₂×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂×C₄	—	2	12	no	—
269	C₂×C₄	—	53	6	no	—
270	C₂×C₄	—	106	3	no	—
271	C₂×C₄	—	106	3	no	—
272	C₂×C₄	—	106	3	no	—
273	C₂×C₄	—	106	3	no	—
274	C₂×C₄	—	106	6	no	—
275	C₂×C₄	—	212	1	no	—
276	C₂×C₄	—	212	3	no	—
277	C₂×C₄	#13133177	1	6	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	3	yes	—
280	C₈	—	4	1	no	—
281	C₈	—	4	3	no	—
282	C₈	—	53	4	no	—
283	C₈	—	106	6	no	—
284	C₂²	—	2	32	no	—
285	C₂²	—	2	6	no	—
286	C₂²	—	2	12	no	—
287	C₂²	—	2	6	no	—
288	C₂²	—	2	12	no	—
289	C₂²	—	106	6	no	—
290	C₂²	—	212	3	no	—
291	C₂²	—	212	1	no	—
292	C₂²	#16810686	1	12	yes	complemented
293	C₂²	C₂×#13133177	1	3	yes	—
294	C₂²	C₂²×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×#13133225	1	3	yes	—
296	C₄	—	2	6	no	—
297	C₄	—	106	6	no	—
298	C₄	—	212	3	no	—
299	C₄	—	212	1	no	—
300	C₄	#120×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₄	#16811129	1	3	yes	—
302	C₂	—	2	12	no	—
303	C₂	—	212	2	no	—
304	C₂	#20277214	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂×#16810686	1	3	yes	—
306	C₂	#20283405	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting	C₅₃×#1779	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#13133186	C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1779	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₈×#120
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1779

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×#88322	C₂	semidirect
2. C₂×#16810686	C₂	semidirect
4. #20275005	C₂	semidirect
5. #20274892	C₂	semidirect
6. #20274489	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1779	C₂	semidirect
11. C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	semidirect
15. C₂×#13133146	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133129	C₂²	semidirect
17. C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	semidirect
22. #16810377	C₂²	semidirect
32. C₂²×#88322	D₄	semidirect
36. #13133186	C₈	semidirect
60. C₂⁴×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
75. C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₈	semidirect
86. C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₈	semidirect
108. C₂²×D₅₃	C₂²×C₈	semidirect
123. C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	semidirect
129. #88322	#120	semidirect
136. C₂²×C₅₃	C₈×D₄	semidirect
154. #1779	D₅₃	semidirect
179. C₅₃	C₈×#120	semidirect
215. C₂⁴	C₈×D₅₃	semidirect
292. C₂²	#16810686	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#88322	2
C₂×#16810686	2
C₄×#13133186	2
#20275005	2
#20274892	2
#20274489	2
C₅₃×#1779	2
C₈×#120	53