Subgroups — #27391997

Order 13568.

886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#13133204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275650	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275510	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275331	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274496	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₅₃×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133204	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₈×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810528	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#16810526	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#16810517	C₄	1	4	yes	—
23	#16810488	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#436	—	2	4	no	—
31	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133204	—	2	4	no	—
38	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
50	#13133146	—	2	4	no	—
51	C₂²⋊#88322	—	2	8	no	—
52	#13133127	—	2	4	no	—
53	#13133127	—	2	4	no	—
54	C₄×#88322	—	2	2	no	—
55	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
56	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	M₁₆	1	4	yes	complemented
92	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
103	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	#11719919	—	2	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	4	no	—
118	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
151	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₈×C₅₃	#124	1	4	yes	complemented
155	#88322	—	2	4	no	—
156	#88322	—	4	2	no	—
157	#21634	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₄×C₅₃	#435	1	4	yes	—
171	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
173	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
174	Dic₅₃	—	2	4	no	—
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	4	2	no	—
177	Dic₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂×C₈×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×#436	D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	C₄×#124	—	53	1	no	—
181	#1984	—	53	1	no	—
182	#1954	—	53	1	no	—
183	#1924	—	53	4	no	—
184	#1831	—	53	1	no	—
185	#1753	—	53	4	no	—
186	C₄×#97	—	53	1	no	—
187	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
188	C₂×C₅₃	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2932	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#2969	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#2971	1	2	yes	—
193	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂×#124	—	53	1	no	—
195	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
196	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₈×Q₈	—	106	4	no	—
198	#436	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×#97	—	53	2	no	—
205	C₂×#97	—	53	2	no	—
206	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
207	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	#391	—	53	1	no	—
210	#390	—	53	1	no	—
211	#388	—	53	4	no	—
212	#382	—	53	1	no	—
213	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
214	C₄³	—	53	1	no	—
215	#336	—	53	4	no	—
216	#336	—	53	4	no	—
217	C₅₃	#21634	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
218	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
219	C₂²×D₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
222	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
225	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	#124	—	106	4	no	—
229	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
231	C₄×D₄	—	2	2	no	—
232	C₄×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
240	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
241	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
244	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
250	#97	—	106	4	no	—
251	#97	—	106	4	no	—
252	C₄×C₈	—	106	4	no	—
253	C₄×C₈	—	106	2	no	—
254	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
255	#95	—	53	4	no	—
256	#95	—	53	4	no	—
257	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
261	C₂×D₄	—	2	2	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	M₁₆	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	53	4	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	—	106	2	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	4	no	—
285	C₂×C₈	#11719947	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
294	C₄²	—	106	2	no	—
295	C₄²	—	106	2	no	—
296	C₄²	—	106	2	no	—
297	C₄²	—	106	2	no	—
298	C₄²	—	106	2	no	—
299	C₄²	—	106	2	no	—
300	C₄²	—	212	2	no	—
301	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
302	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	106	8	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	53	4	no	—
318	C₂×C₄	—	106	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	2	no	—
320	C₂×C₄	—	106	2	no	—
321	C₂×C₄	—	106	2	no	—
322	C₂×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂×C₄	—	106	2	no	—
324	C₂×C₄	—	106	2	no	—
325	C₂×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	4	no	—
328	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#13133225	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	106	4	no	—
339	C₈	—	212	2	no	—
340	C₈	#13133204	1	4	yes	complemented
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₄×#11719947	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂×M₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#13133225	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#16811388	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	106	4	no	—
354	C₄	—	212	2	no	—
355	C₄	—	212	2	no	—
356	C₄	—	212	2	no	—
357	C₄	#16810692	1	4	yes	—
358	C₄	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#16811155	1	2	yes	—
360	C₄	#16811169	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	C₄×#13133204	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#16810692	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20283431	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20283722	1	2	yes	—
366	C₂	#20283731	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#436	C₂
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#436	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21634
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#436

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₈×Dic₁₀₆	C₂	semidirect
3. #20275650	C₂	semidirect
5. #20275331	C₂	semidirect
6. #20274831	C₂	semidirect
7. #20274496	C₂	semidirect
8. C₄×#13133127	C₂	semidirect
91. C₂×Dic₁₀₆	M₁₆	semidirect
154. C₈×C₅₃	#124	semidirect
217. C₅₃	#21634	semidirect
340. C₈	#13133204	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×Dic₁₀₆	2
C₄×#13133204	2
#20275650	2
#20275510	2
#20275331	2
#20274831	2
#20274496	2
C₄×#13133127	2
C₂×C₅₃×#436	2
#21634	53