Subgroups — #27392000

Order 13568.

886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275652	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275510	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275330	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274832	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274499	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#124×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
11	Q₈×#88322	—	2	4	no	—
12	#16810701	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#124×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#388	C₄	1	4	yes	—
31	C₅₃×#382	C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
33	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	8	no	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
42	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
43	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
44	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
45	C₂²⋊#88322	—	2	8	no	—
46	#13133128	—	2	4	no	—
47	#13133128	—	2	4	no	—
48	C₄×#88322	—	2	2	no	—
49	C₄×#88322	—	2	4	no	—
50	C₄×#88322	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	complemented
77	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
97	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
107	#11719917	—	4	8	no	—
108	C₂×#88322	—	2	2	no	—
109	C₂×#88322	—	2	2	no	—
110	C₂×#88322	—	2	2	no	—
111	C₂×#88322	—	2	2	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	—	2	4	no	—
114	C₂×#88322	—	2	4	no	—
115	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
118	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
126	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	#88322	—	2	4	no	—
153	#88322	—	2	2	no	—
154	#88322	—	4	2	no	—
155	#88322	—	4	2	no	—
156	#88322	#124	1	4	yes	complemented
157	#21634	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
174	C₄×C₅₃	#435	1	4	yes	—
175	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₈×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×#436	—	53	1	no	—
180	C₄×#124	D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	#1984	—	53	1	no	—
182	#1954	—	53	1	no	—
183	#1924	—	53	4	no	—
184	#1831	—	53	1	no	—
185	#1753	—	53	4	no	—
186	C₄×#97	—	53	1	no	—
187	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
188	C₂×C₅₃	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2932	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#2969	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#2971	1	2	yes	—
193	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
194	C₂×#124	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₈×Q₈	—	106	4	no	—
198	#436	—	106	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
204	C₂×#97	—	53	2	no	—
205	C₂×#97	—	53	2	no	—
206	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
207	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
208	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
209	#391	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#390	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#388	Dic₅₃	1	4	yes	—
212	#382	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
214	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#336	—	53	4	no	—
216	#336	—	53	4	no	—
217	C₅₃	#21634	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
218	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
222	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
228	#124	—	2	4	no	—
229	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₄×D₄	—	2	2	no	—
232	C₄×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
239	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
246	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
247	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
249	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
250	#97	—	106	4	no	—
251	#97	—	106	4	no	—
252	C₄×C₈	—	53	4	no	—
253	C₄×C₈	—	106	4	no	—
254	C₄×C₈	—	106	2	no	—
255	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
256	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
257	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
258	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
260	C₂×Q₈	#11719917	1	4	yes	complemented
261	C₂×D₄	—	2	2	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	M₁₆	—	212	8	no	—
277	C₂×C₈	—	53	2	no	—
278	C₂×C₈	—	53	4	no	—
279	C₂×C₈	—	53	2	no	—
280	C₂×C₈	—	53	4	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	—	106	2	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	4	no	—
287	C₂×C₈	—	106	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
302	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	8	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#13133224	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	53	4	no	—
337	C₈	—	106	4	no	—
338	C₈	—	106	2	no	—
339	C₈	—	212	2	no	—
340	C₈	—	212	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#41×Dic₅₃	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂²×#11719917	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#13133224	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#16811390	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	#16810695	1	4	yes	—
358	C₄	#124×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#16811152	1	2	yes	—
360	C₄	#16811172	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	#124×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#16810695	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20283433	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20283720	1	2	yes	—
366	C₂	#20283735	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₄×#124×C₅₃	C₂
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#124	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21634
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×#88322	C₂	semidirect
3. #20275652	C₂	semidirect
5. #20275330	C₂	semidirect
6. #20274832	C₂	semidirect
7. #20274499	C₂	semidirect
8. C₄×#13133128	C₂	semidirect
76. C₂×Q₈×C₅₃	M₁₆	semidirect
156. #88322	#124	semidirect
217. C₅₃	#21634	semidirect
260. C₂×Q₈	#11719917	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×#88322	2
C₂×#16810701	2
#20275652	2
#20275510	2
#20275330	2
#20274832	2
#20274499	2
C₄×#13133128	2
C₄×#124×C₅₃	2
#21634	53