Subgroups — #27392007

Order 13568.

890 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810688	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275513	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275329	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274485	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20274403	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1985	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	Q₈×#88322	—	2	4	no	—
13	#16810688	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133129	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810562	C₄	1	2	yes	—
23	#16810549	C₄	1	2	yes	—
24	#16810540	C₄	1	2	yes	—
25	#16810534	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×#11719921	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
39	C₂×C₈×D₅₃	—	2	8	no	—
40	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
41	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
48	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
49	#13133129	—	2	8	no	—
50	#13133129	—	2	4	no	—
51	#13133127	—	2	4	no	—
52	C₄×#88322	—	2	4	no	—
53	C₄×#88322	D₄	1	4	yes	—
54	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
55	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
97	#11719921	—	2	8	no	—
98	#11719921	—	2	4	no	—
99	#11719921	—	2	8	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×#88322	—	2	2	no	—
104	C₂×#88322	—	2	2	no	—
105	C₂×#88322	—	2	4	no	—
106	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
109	C₈×D₅₃	—	4	8	no	—
110	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₅₃	#131	1	4	yes	—
116	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	D₂₁₂	—	2	8	no	—
136	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
139	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
141	#88322	—	2	2	no	—
142	#88322	—	4	2	no	—
143	#88322	#124	1	4	yes	—
144	#21635	—	53	1	no	maximal, Sylow
145	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
149	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
161	Dic₅₃	—	4	4	no	—
162	Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×C₈×Q₈	—	53	1	no	—
164	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
165	#2398	—	53	1	no	—
166	#1985	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
167	#1955	—	53	1	no	—
168	#1924	—	53	4	no	—
169	#1832	—	53	1	no	—
170	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
171	#1726	—	53	1	no	—
172	C₂×C₅₃	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#2929	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	#2929	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#2966	1	4	yes	—
176	D₅₃	—	4	4	no	—
177	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
178	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
180	C₈×Q₈	—	106	4	no	—
181	C₈×D₄	—	106	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
187	C₂×#97	—	53	2	no	—
188	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
190	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
191	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
192	#400	—	53	2	no	—
193	#397	—	53	2	no	—
194	#394	—	53	2	no	—
195	#393	—	53	2	no	—
196	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
197	#376	—	53	1	no	—
198	#336	—	53	4	no	—
199	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
200	C₅₃	#21635	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
201	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
203	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
204	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
205	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
206	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
207	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
208	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
210	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₄×D₄	—	106	2	no	—
214	C₄×D₄	—	106	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
229	#97	—	2	2	no	—
230	#97	—	106	4	no	—
231	C₄×C₈	—	53	4	no	—
232	C₄×C₈	—	106	4	no	—
233	C₄×C₈	—	106	4	no	—
234	#95	—	53	2	no	—
235	#95	—	53	2	no	—
236	#95	—	53	4	no	—
237	#95	—	53	4	no	—
238	C₂⁴	—	53	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	106	4	no	—
242	C₂×D₄	—	106	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	53	2	no	—
259	C₂×C₈	—	53	4	no	—
260	C₂×C₈	—	53	2	no	—
261	C₂×C₈	—	106	2	no	—
262	C₂×C₈	—	106	2	no	—
263	C₂×C₈	—	106	4	no	—
264	C₂×C₈	—	212	8	no	—
265	C₂×C₈	#11719949	1	4	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	106	2	no	—
275	C₄²	—	106	2	no	—
276	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
278	C₂³	—	53	4	no	—
279	C₂³	—	106	2	no	—
280	C₂³	—	106	4	no	—
281	C₂³	—	106	2	no	—
282	C₂³	—	106	4	no	—
283	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	2	8	no	—
285	D₄	—	106	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	106	2	no	—
293	C₂×C₄	—	106	4	no	—
294	C₂×C₄	—	106	4	no	—
295	C₂×C₄	—	106	4	no	—
296	C₂×C₄	—	106	4	no	—
297	C₂×C₄	—	212	2	no	—
298	C₂×C₄	—	212	4	no	—
299	C₂×C₄	—	212	2	no	—
300	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	4	no	—
308	C₈	—	4	2	no	—
309	C₈	—	53	4	no	—
310	C₈	—	106	2	no	—
311	C₈	—	212	2	no	—
312	C₂²	—	106	4	no	—
313	C₂²	—	106	8	no	—
314	C₂²	—	212	2	no	—
315	C₂²	—	212	2	no	—
316	C₂²	—	212	4	no	—
317	C₂²	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₄×#11719949	1	2	yes	—
319	C₂²	#131×D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	212	2	no	—
326	C₄	—	212	4	no	—
327	C₄	#124×D₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#16811159	1	2	yes	—
329	C₄	#16811174	1	1	yes	characteristic
330	C₂	—	212	4	no	—
331	C₂	#20277258	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20283405	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#20283412	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#20283689	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1985	C₂
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1985	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21635
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1985

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×#88322	C₂	semidirect
5. #20275329	C₂	semidirect
6. #20274834	C₂	semidirect
7. #20274485	C₂	semidirect
8. #20274403	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1985	C₂	semidirect
166. #1985	D₅₃	semidirect
200. C₅₃	#21635	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×#88322	2
C₂×#16810688	2
#20277998	2
#20275513	2
#20275329	2
#20274834	2
#20274485	2
#20274403	2
C₅₃×#1985	2
#21635	53