Subgroups — #27393314

Order 13568.

1818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810676	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20275510	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#20274625	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂²×C₄×D₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#16810676	—	2	8	no	—
6	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	complemented
7	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	16	yes	complemented
9	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	4	yes	complemented
10	C₂³×D₄×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#88322	C₂³	1	8	yes	—
19	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
20	C₂²⋊#88322	—	2	8	no	—
21	C₂²⋊#88322	—	4	16	no	—
22	C₄×#88322	—	2	8	no	—
23	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
25	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
26	C₂²×D₄×C₅₃	C₈	1	8	yes	complemented
27	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
29	C₂³×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
30	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₄×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
37	C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
38	C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
49	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
50	C₂⁴×C₅₃	C₂×C₈	1	8	yes	—
51	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
52	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×D₄×C₅₃	—	2	32	no	—
54	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
55	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
56	C₂×D₄×C₅₃	C₂×C₈	1	16	yes	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	32	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
77	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
78	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
79	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#88322	—	2	8	no	—
82	C₂×#88322	—	2	16	no	—
83	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
87	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₅₃	—	2	16	no	—
90	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
91	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
92	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
93	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
94	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	8	yes	—
96	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
97	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
99	D₄×C₅₃	—	2	32	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
117	#88322	—	4	8	no	—
118	#21786	—	53	1	no	maximal, Sylow
119	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
125	C₂²×C₅₃	—	4	32	no	—
126	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
130	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
132	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
135	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
139	C₄×C₅₃	#535	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄×D₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
141	C₂×#431	—	53	2	no	—
142	#1954	—	53	8	no	—
143	#1779	—	53	4	no	—
144	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×C₅₃	—	4	8	no	—
146	C₂×C₅₃	#2309	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₅₃	#2879	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₅₃	#2972	1	2	yes	—
150	C₂×C₅₃	#2975	1	2	yes	—
151	C₂³×D₄	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
152	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄×D₄	Dic₅₃	1	4	yes	—
155	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
159	#431	—	106	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
163	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
164	C₅₃	#21786	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
165	C₂⁵	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
166	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×D₄	#88322	1	8	yes	complemented
169	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
170	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
173	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
177	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	C₄×D₄	—	2	16	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	212	16	no	—
192	C₄×C₈	—	106	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	4	no	—
197	C₂⁴	C₂×#88322	1	8	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂×D₄	—	2	32	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	C₂×#88322	1	16	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×#88322	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#11719917	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	—	106	8	no	—
224	C₂×C₈	—	106	16	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
227	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
228	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
229	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	16	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	8	no	—
237	C₂³	—	4	16	no	—
238	C₂³	—	4	8	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	4	16	no	—
241	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂²×#88322	1	8	yes	—
243	C₂³	C₂²×#88322	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂×#11719917	1	2	yes	—
245	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
246	D₄	—	2	32	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂×C₄	C₂²⋊#88322	1	16	yes	complemented
257	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×#88322	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	#13133262	1	4	yes	—
264	C₈	—	212	8	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	16	no	—
271	C₂²	—	4	32	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	8	no	—
275	C₂²	C₂×C₂²⋊#88322	1	4	yes	—
276	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	#16811098	1	2	yes	—
278	C₂²	C₂³×#88322	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂²×#11719917	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#16811390	1	2	yes	—
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	2	2	no	—
283	C₄	—	4	4	no	—
284	C₄	C₂×C₂²⋊#88322	1	8	yes	—
285	C₄	#16811190	1	4	yes	—
286	C₂	—	2	4	no	—
287	C₂	—	4	8	no	—
288	C₂	#20277297	1	1	yes	characteristic
289	C₂	C₂²×C₂²⋊#88322	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#20283160	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#20283739	1	2	yes	—
292	C₂	#20283756	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting	C₂²×C₄×D₄×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄×C₅₃	C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄×D₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21786
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810676	C₂	semidirect
2. #20275510	C₂	semidirect
3. #20274625	C₂	semidirect
6. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
8. C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	semidirect
9. C₂×C₄×#88322	C₂²	semidirect
26. C₂²×D₄×C₅₃	C₈	semidirect
109. C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	semidirect
164. C₅₃	#21786	semidirect
168. C₂²×D₄	#88322	semidirect
256. C₂×C₄	C₂²⋊#88322	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810676	2
#20275510	2
#20274625	2
C₂²×C₄×D₄×C₅₃	2
#21786	53