Subgroups — #27393316

Order 13568.

1402 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20275509	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275508	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274626	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₅₃×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11719945	C₂²	1	2	yes	—
8	#16811173	—	2	4	no	—
9	#16811173	—	2	4	no	—
10	C₂×#13133217	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133214	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133205	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#13133191	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#13133191	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810676	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133129	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#431	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
28	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719945	—	4	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
37	#13133217	—	2	4	no	—
38	#13133214	—	2	4	no	—
39	#13133205	—	2	8	no	—
40	#13133191	—	2	8	no	—
41	#13133191	—	2	8	no	—
42	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
43	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
44	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
51	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
52	#13133129	—	4	16	no	—
53	C₄×#88322	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
83	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	#11719945	—	4	16	no	—
86	#11719945	—	4	16	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	#11719921	—	2	8	no	—
107	#11719921	—	2	8	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
138	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
141	D₂₁₂	—	4	8	no	—
142	D₂₁₂	—	4	8	no	—
143	D₂₁₂	—	4	8	no	—
144	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
145	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
146	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
147	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
148	#88322	—	4	4	no	—
149	#21787	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
158	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	#408	1	4	yes	—
166	C₄×C₅₃	#408	1	4	yes	—
167	C₄×C₅₃	#535	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	#535	1	2	yes	—
169	Dic₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂×#532	—	53	1	no	—
171	C₂×#431	—	53	1	no	—
172	C₂×#431	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
173	#1954	—	53	4	no	—
174	#1954	—	53	4	no	—
175	#1780	—	53	4	no	—
176	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×C₅₃	#2309	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#2979	1	4	yes	—
181	D₅₃	—	8	4	no	—
182	C₂²×#41	—	53	2	no	—
183	#532	—	106	4	no	—
184	#532	—	106	4	no	—
185	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
186	C₂×#127	—	53	1	no	—
187	C₂×#124	—	53	2	no	—
188	C₂×#121	—	53	2	no	—
189	C₂×#121	—	53	2	no	—
190	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
191	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
192	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	#431	—	2	4	no	—
194	#431	—	106	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
201	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
202	C₅₃	#21787	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂×#41	—	106	4	no	—
204	C₂×#41	—	106	4	no	—
205	C₂×#41	—	212	8	no	—
206	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
207	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
208	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
209	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
210	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
211	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
212	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
216	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
217	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
218	#127	—	106	4	no	—
219	#124	—	106	8	no	—
220	#121	—	106	8	no	—
221	#121	—	106	8	no	—
222	C₄×D₄	—	106	4	no	—
223	C₄×D₄	—	106	4	no	—
224	C₄×D₄	—	106	4	no	—
225	C₄×D₄	—	106	4	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
230	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
233	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
238	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
240	C₂²⋊C₈	—	212	16	no	—
241	C₄×C₈	—	2	4	no	—
242	C₄×C₈	—	106	4	no	—
243	C₂⁴	—	53	4	no	—
244	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	#41	—	212	16	no	—
246	#41	—	212	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
249	C₂×D₄	—	106	8	no	—
250	C₂×D₄	—	106	4	no	—
251	C₂×D₄	—	106	4	no	—
252	C₂×D₄	—	106	4	no	—
253	C₂×D₄	—	106	8	no	—
254	C₂×D₄	—	106	8	no	—
255	C₂×D₄	—	212	4	no	—
256	C₂×D₄	—	212	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
264	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	106	4	no	—
277	C₂×C₈	—	106	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
282	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
283	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	106	4	no	—
292	C₂³	—	106	8	no	—
293	C₂³	—	106	8	no	—
294	C₂³	—	106	8	no	—
295	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	212	8	no	—
298	D₄	—	212	8	no	—
299	D₄	—	212	16	no	—
300	D₄	—	212	8	no	—
301	D₄	—	212	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	8	no	—
311	C₂×C₄	—	212	8	no	—
312	C₂×C₄	—	212	8	no	—
313	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#13133263	1	4	yes	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₈	—	212	4	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	212	4	no	—
330	C₂²	—	212	4	no	—
331	C₂²	—	212	4	no	—
332	C₂²	—	212	16	no	—
333	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#16811097	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	212	4	no	—
341	C₄	#16810589	1	4	yes	—
342	C₄	#16810591	1	4	yes	—
343	C₄	#16811187	1	2	yes	—
344	C₄	#16811192	1	2	yes	—
345	C₂	—	4	2	no	—
346	C₂	—	424	4	no	—
347	C₂	#20277295	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#16810589	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#16810591	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20283781	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#431	C₂
prime radical	C₂×#16811173	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#431	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21787
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810676	C₂	semidirect
3. #20275509	C₂	semidirect
4. #20275508	C₂	semidirect
5. #20274626	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#431	C₂	semidirect
172. C₂×#431	D₅₃	semidirect
202. C₅₃	#21787	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811173	2
C₂×#16810676	2
#20275509	2
#20275508	2
#20274626	2
C₂×C₅₃×#431	2
#21787	53