Subgroups — #27393317

Order 13568.

1402 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810673	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275507	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20274627	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#1780	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#16811169	—	2	8	no	—
9	C₂×#13133215	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133213	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133206	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133204	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133189	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810673	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#13133129	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
26	C₂×#11719945	—	4	4	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133215	—	2	4	no	—
35	#13133213	—	2	4	no	—
36	#13133206	—	2	4	no	—
37	#13133204	—	2	4	no	—
38	#13133189	—	2	16	no	—
39	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
40	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
41	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	#13133146	—	2	8	no	—
49	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
50	C₂²⋊#88322	—	4	4	no	—
51	#13133129	—	4	8	no	—
52	C₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
53	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×#41×C₅₃	—	4	4	no	—
55	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	16	no	—
85	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	#11719945	—	4	16	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
101	#11719921	—	2	8	no	—
102	#11719919	—	2	8	no	—
103	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
120	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
121	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
122	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
132	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
133	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	#131	1	8	yes	—
141	D₂₁₂	—	4	4	no	—
142	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
143	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
144	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
145	#88322	—	4	4	no	—
146	#21787	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
157	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×C₅₃	#535	1	4	yes	—
163	Dic₅₃	—	2	4	no	—
164	Dic₅₃	—	4	2	no	—
165	Dic₅₃	#408	1	8	yes	—
166	C₂×#532	—	53	1	no	—
167	C₂×#431	—	53	2	no	—
168	#1954	—	53	8	no	—
169	#1780	—	53	2	no	—
170	#1780	—	53	1	no	—
171	#1780	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
172	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
174	C₂×C₅₃	#2309	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#2979	1	4	yes	—
177	D₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂²×#41	—	53	1	no	—
179	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#532	—	106	8	no	—
181	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
182	C₂×#127	—	53	1	no	—
183	C₂×#124	—	53	1	no	—
184	C₂×#124	—	53	1	no	—
185	C₂×#121	—	53	4	no	—
186	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
187	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
188	#431	—	106	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
195	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
196	C₅₃	#21787	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂×#41	—	2	4	no	—
198	C₂×#41	—	4	4	no	—
199	C₂×#41	—	106	4	no	—
200	C₂×#41	—	212	4	no	—
201	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
202	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
204	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
205	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
206	C₂²×D₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂²×D₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
209	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
210	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
213	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
214	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
215	#127	—	106	4	no	—
216	#124	—	106	4	no	—
217	#124	—	106	4	no	—
218	#121	—	106	16	no	—
219	C₄×D₄	—	106	8	no	—
220	C₄×D₄	—	106	8	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
224	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
225	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
228	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
229	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
231	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	212	8	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
234	C₄×C₈	—	106	8	no	—
235	C₂⁴	—	53	2	no	—
236	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
237	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#41	—	4	16	no	—
239	#41	—	212	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	106	8	no	—
250	C₂×D₄	—	106	16	no	—
251	C₂×D₄	—	106	4	no	—
252	C₂×D₄	—	106	2	no	—
253	C₂×D₄	—	212	2	no	—
254	C₂×D₄	—	212	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	106	4	no	—
273	C₂×C₈	—	106	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
277	C₄²	—	53	4	no	—
278	C₄²	—	53	4	no	—
279	C₄²	—	53	4	no	—
280	C₄²	—	53	4	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	106	2	no	—
288	C₂³	—	106	4	no	—
289	C₂³	—	106	8	no	—
290	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	—	212	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	212	4	no	—
297	D₄	—	212	16	no	—
298	D₄	—	212	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	53	4	no	—
306	C₂×C₄	—	53	8	no	—
307	C₂×C₄	—	53	4	no	—
308	C₂×C₄	—	106	16	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂×C₄	—	106	4	no	—
312	C₂×C₄	—	212	8	no	—
313	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133262	1	4	yes	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	212	4	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	212	4	no	—
326	C₂²	—	212	2	no	—
327	C₂²	—	212	8	no	—
328	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#16811096	1	2	yes	—
330	C₂²	#131×D₅₃	1	4	yes	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	53	8	no	—
334	C₄	—	106	4	no	—
335	C₄	—	212	2	no	—
336	C₄	#16811188	1	4	yes	—
337	C₂	—	4	2	no	—
338	C₂	—	8	2	no	—
339	C₂	—	424	2	no	—
340	C₂	#20277296	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#408×D₅₃	1	2	yes	—
342	C₂	#20283779	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1780	C₂
prime radical	C₂×#16811169	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1780	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21787
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1780

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810673	C₂	semidirect
3. #20275507	C₂	semidirect
4. #20274627	C₂	semidirect
5. #20274626	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1780	C₂	semidirect
171. #1780	D₅₃	semidirect
196. C₅₃	#21787	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811169	2
C₂×#16810673	2
#20275507	2
#20274627	2
#20274626	2
C₅₃×#1780	2
#21787	53