Subgroups — #27393366

Order 13568.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283348	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20275564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275562	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274635	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133205	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133205	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133205	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133205	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133205	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#13133205	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133205	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#11719921	C₄	1	4	yes	—
18	#16810680	—	2	2	no	—
19	#16810676	—	2	2	no	—
20	#16810647	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#13133135	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#13133133	C₂²	1	8	yes	—
23	#16810587	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₅₃×#432	—	2	2	no	—
27	C₅₃×#431	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₅₃×#407	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	—	4	4	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
44	#13133205	—	2	4	no	—
45	#13133205	—	2	4	no	—
46	#13133205	—	2	4	no	—
47	#13133205	—	2	4	no	—
48	#13133205	—	2	2	no	—
49	#13133205	—	2	2	no	—
50	#13133205	—	2	4	no	—
51	#13133205	—	2	2	no	—
52	#13133205	—	2	2	no	—
53	#13133205	—	2	4	no	—
54	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
55	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
56	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
57	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
58	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
61	#13133135	—	4	8	no	—
62	#13133133	—	4	8	no	—
63	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
64	#13133128	—	2	2	no	—
65	C₄×#88322	—	2	2	no	—
66	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
84	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
99	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
114	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	#11719921	—	2	8	no	—
127	#11719921	—	2	8	no	—
128	#11719921	—	2	8	no	—
129	#11719921	—	2	8	no	—
130	#11719917	—	2	8	no	—
131	C₂×#88322	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
160	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
163	D₂₁₂	—	4	8	no	—
164	D₂₁₂	—	4	4	no	—
165	D₂₁₂	—	4	4	no	—
166	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
167	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
168	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
169	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
170	#88322	—	4	4	no	—
171	#21798	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	#413	1	4	yes	—
177	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
179	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
180	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	#535	1	2	yes	—
189	C₄×C₅₃	#535	1	2	yes	—
190	Dic₅₃	—	4	4	no	—
191	C₂²×#124	—	53	1	no	—
192	#2920	—	53	1	no	—
193	#2920	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
194	#1967	—	53	4	no	—
195	#1967	—	53	4	no	—
196	#1784	—	53	2	no	—
197	#1783	—	53	2	no	—
198	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
199	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
200	C₂×C₅₃	#2309	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	C₂×#413	1	2	yes	—
202	D₅₃	—	8	4	no	—
203	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
204	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
205	C₂×#124	—	53	4	no	—
206	C₂×#124	—	53	2	no	—
207	C₂×#124	—	53	2	no	—
208	C₂×#124	—	106	2	no	—
209	C₂×#124	—	106	2	no	—
210	C₂×#124	—	106	2	no	—
211	C₂×#124	—	106	2	no	—
212	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
213	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#432	—	2	2	no	—
215	#432	—	106	2	no	—
216	#431	—	2	2	no	—
217	#431	—	106	2	no	—
218	#423	—	53	2	no	—
219	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
220	C₂×#101	—	53	8	no	—
221	C₂×#100	—	53	8	no	—
222	#407	—	53	2	no	—
223	#407	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
225	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
226	C₅₃	#21798	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
227	C₂⁵	—	53	2	no	—
228	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
229	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
230	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
231	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
232	C₂²×Q₈	—	212	4	no	—
233	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
234	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
235	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
236	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
237	C₂²×D₄	—	212	4	no	—
238	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
239	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
242	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
243	#124	—	106	2	no	—
244	#124	—	106	2	no	—
245	#124	—	106	4	no	—
246	#124	—	106	2	no	—
247	#124	—	106	2	no	—
248	#124	—	106	4	no	—
249	#124	—	106	4	no	—
250	#124	—	106	4	no	—
251	#124	—	106	4	no	—
252	#124	—	106	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
257	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
258	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
259	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
261	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
262	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
268	#101	—	212	8	no	—
269	#100	—	212	8	no	—
270	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
272	#97	—	2	2	no	—
273	#97	—	106	2	no	—
274	C₄×C₈	—	2	2	no	—
275	C₄×C₈	—	106	2	no	—
276	C₂⁴	—	53	4	no	—
277	C₂⁴	—	106	4	no	—
278	C₂⁴	—	212	4	no	—
279	C₂⁴	—	212	8	no	—
280	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
282	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
284	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
285	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
286	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
287	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
288	C₂×D₄	—	106	4	no	—
289	C₂×D₄	—	106	2	no	—
290	C₂×D₄	—	106	2	no	—
291	C₂×D₄	—	106	8	no	—
292	C₂×D₄	—	212	4	no	—
293	C₂×D₄	—	212	8	no	—
294	C₂×D₄	—	212	8	no	—
295	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
299	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
300	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	#11719921	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	M₁₆	—	2	8	no	—
311	M₁₆	—	106	8	no	—
312	C₂×C₈	—	2	4	no	—
313	C₂×C₈	—	106	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
318	C₄²	#11719921	1	2	yes	—
319	C₄²	#11719921	1	2	yes	—
320	C₄²	#11719921	1	2	yes	—
321	C₄²	#11719921	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	2	4	no	—
330	C₂³	—	106	8	no	—
331	C₂³	—	106	4	no	—
332	C₂³	—	424	16	no	—
333	C₂³	—	212	8	no	—
334	C₂³	—	212	8	no	—
335	C₂³	—	212	8	no	—
336	C₂³	—	212	8	no	—
337	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	212	8	no	—
340	Q₈	—	212	4	no	—
341	Q₈	—	212	4	no	—
342	D₄	—	212	8	no	—
343	D₄	—	212	4	no	—
344	D₄	—	212	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	106	4	no	—
355	C₂×C₄	—	106	8	no	—
356	C₂×C₄	—	212	8	no	—
357	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#13133263	1	4	yes	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	212	4	no	—
367	C₂²	—	2	8	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	424	8	no	—
372	C₂²	—	424	16	no	—
373	C₂²	—	212	4	no	—
374	C₂²	—	212	8	no	—
375	C₂²	#16810605	1	4	yes	—
376	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#16811097	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	212	4	no	—
384	C₄	#16811187	1	2	yes	—
385	C₄	#16811192	1	2	yes	—
386	C₂	—	2	2	no	—
387	C₂	—	2	4	no	—
388	C₂	—	424	4	no	—
389	C₂	#20277295	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#16810605	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719921
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2920	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2920	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21798
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ #2920

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283348	C₂	semidirect
3. #20275564	C₂	semidirect
4. #20275562	C₂	semidirect
5. #20274638	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2920	C₂	semidirect
20. #16810647	C₂²	semidirect
21. C₂×#13133135	C₂²	semidirect
24. C₄×#11719917	C₂²	semidirect
28. C₅₃×#423	C₂²	semidirect
30. C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	semidirect
193. #2920	D₅₃	semidirect
219. #423	C₂×D₅₃	semidirect
225. C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
226. C₅₃	#21798	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133205	2
#20283348	2
#20275564	2
#20275562	2
#20274638	2
#20274635	2
C₅₃×#2920	2
#21798	53