Subgroups — #27393501

Order 13568.

1306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275651	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275650	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274781	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂×C₅₃×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810676	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#431	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₈	1	8	yes	complemented
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
35	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
36	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
38	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
40	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
45	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
52	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
53	C₄×#88322	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂×C₈	1	8	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
100	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	#11719919	—	2	8	no	—
107	#11719919	—	2	8	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	16	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	8	yes	—
145	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
147	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
148	#88322	—	4	4	no	—
149	#21818	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#519	1	2	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
164	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	#536	1	2	yes	—
166	C₄×C₅₃	#536	1	2	yes	—
167	Dic₅₃	—	2	8	no	—
168	Dic₅₃	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
170	C₂×#431	—	53	1	no	—
171	C₂×#431	D₅₃	1	1	yes	characteristic
172	#1984	—	53	4	no	—
173	#1984	—	53	4	no	—
174	#1817	—	53	4	no	—
175	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
176	C₂×C₅₃	#2310	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#2879	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#2982	1	2	yes	—
180	C₂×C₅₃	#2983	1	2	yes	—
181	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
182	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
183	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
185	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
186	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
187	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
188	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
190	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
191	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#431	—	2	4	no	—
193	#431	—	106	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#336	—	53	16	no	—
201	C₅₃	#21818	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
202	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
203	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
204	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
206	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
209	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
213	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
214	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
215	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
216	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
217	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
218	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
219	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
229	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
230	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
233	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
238	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	106	4	no	—
242	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
246	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
259	C₂²×C₄	C₈×D₅₃	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	#11719912	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	106	4	no	—
274	C₂×C₈	—	106	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
279	C₄²	—	106	8	no	—
280	C₄²	—	106	4	no	—
281	C₄²	—	106	4	no	—
282	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
283	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×C₈×D₅₃	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#11719912	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	106	16	no	—
295	Q₈	—	106	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	53	8	no	—
303	C₂×C₄	—	106	4	no	—
304	C₂×C₄	—	106	16	no	—
305	C₂×C₄	—	106	4	no	—
306	C₂×C₄	—	106	4	no	—
307	C₂×C₄	—	106	8	no	—
308	C₂×C₄	—	212	8	no	—
309	C₂×C₄	#13133129	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×C₈×D₅₃	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₈×D₅₃	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#11719912	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#11719912	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#13133264	1	4	yes	—
322	C₈	—	4	4	no	—
323	C₈	—	212	4	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	C₂×#13133129	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#16811100	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂²×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×#11719912	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	106	8	no	—
338	C₄	—	212	4	no	—
339	C₄	C₂×#13133129	1	4	yes	—
340	C₄	C₂×#13133129	1	4	yes	—
341	C₄	#16811194	1	2	yes	—
342	C₄	#16811199	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	#20277299	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂²×#13133129	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20283159	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20283795	1	2	yes	—
348	C₂	#20283798	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting	C₂×C₅₃×#431	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#431	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21818
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275651	C₂	semidirect
4. #20275650	C₂	semidirect
29. C₂²×Dic₁₀₆	C₈	semidirect
201. C₅₃	#21818	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810676	2
#20275651	2
#20275650	2
#20274781	2
C₂×C₅₃×#431	2
#21818	53