Subgroups — #27393502

Order 13568.

1306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810673	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275649	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20274783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20274781	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₅₃×#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11719919	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719919	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810673	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	C₈	1	8	yes	complemented
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
35	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
36	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133146	—	2	8	no	—
50	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
51	C₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	1	16	yes	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
95	#11719919	—	2	8	no	—
96	#11719919	—	2	8	no	—
97	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
100	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂×#88322	—	2	8	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊C₈	1	16	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
135	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
136	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
138	#88322	—	4	4	no	—
139	#21818	—	53	1	no	maximal, Sylow
140	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
145	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	#519	1	2	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
150	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₄×C₅₃	#536	1	4	yes	—
154	Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	Dic₅₃	—	2	4	no	—
156	Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
159	C₂×#431	—	53	2	no	—
160	#1984	—	53	8	no	—
161	#1817	—	53	1	no	—
162	#1817	—	53	2	no	—
163	#1817	D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂×C₅₃	#2310	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	#2879	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#2982	1	2	yes	—
169	C₂×C₅₃	#2983	1	2	yes	—
170	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
171	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
172	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
173	C₂×C₄×Q₈	—	106	8	no	—
174	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
175	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
176	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
177	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
178	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
179	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#431	—	106	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
185	#336	—	53	8	no	—
186	#336	—	53	4	no	—
187	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
188	C₅₃	#21818	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
190	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
191	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
192	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
193	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
194	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
195	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
196	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
197	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
201	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
202	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
203	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
204	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
214	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
218	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
223	C₄×C₈	—	106	8	no	—
224	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
226	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
228	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
248	C₂²×C₄	C₈×D₅₃	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	106	4	no	—
257	C₂×C₈	—	106	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	53	8	no	—
264	C₄²	—	53	4	no	—
265	C₄²	—	53	4	no	—
266	C₄²	—	106	4	no	—
267	C₄²	—	106	4	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×C₈×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂³	M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	106	32	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	53	4	no	—
284	C₂×C₄	—	53	16	no	—
285	C₂×C₄	—	53	4	no	—
286	C₂×C₄	—	53	4	no	—
287	C₂×C₄	—	53	4	no	—
288	C₂×C₄	—	53	4	no	—
289	C₂×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂×C₄	—	106	8	no	—
291	C₂×C₄	—	106	2	no	—
292	C₂×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂×C₄	—	106	4	no	—
295	C₂×C₄	—	212	4	no	—
296	C₂×C₄	—	212	4	no	—
297	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₈×D₅₃	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#13133264	1	4	yes	—
301	C₈	—	4	4	no	—
302	C₈	—	212	4	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	C₂²⋊C₈×D₅₃	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#16811100	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂²×C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×M₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	53	8	no	—
317	C₄	—	106	4	no	—
318	C₄	—	106	4	no	—
319	C₄	—	212	2	no	—
320	C₄	#16811195	1	4	yes	—
321	C₂	—	2	4	no	—
322	C₂	#20277300	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×C₂²⋊C₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20283158	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#20283795	1	2	yes	—
326	C₂	#20283799	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting	C₅₃×#1817	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1817	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21818
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1817

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275649	C₂	semidirect
27. C₂²×Dic₁₀₆	C₈	semidirect
188. C₅₃	#21818	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810673	2
#20275649	2
#20274783	2
#20274781	2
C₅₃×#1817	2
#21818	53