Subgroups — #27393509

Order 13568.

1270 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810680	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275654	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275651	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274781	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂×C₅₃×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810680	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#431	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
35	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
36	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
38	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
51	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
52	#13133128	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	M₁₆	1	8	yes	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
94	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	#11719919	—	2	8	no	—
103	#11719919	—	2	8	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	#131	1	4	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
138	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
139	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
140	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
141	#88322	—	4	4	no	—
142	#21820	—	53	1	no	maximal, Sylow
143	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₅₃	#408	1	4	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	#519	1	2	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
151	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	#407	1	4	yes	—
156	C₄×C₅₃	#536	1	2	yes	—
157	C₄×C₅₃	#536	1	2	yes	—
158	Dic₅₃	—	2	8	no	—
159	Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
161	C₂×#432	—	53	1	no	—
162	C₂×#431	D₅₃	1	1	yes	characteristic
163	#1985	—	53	4	no	—
164	#1984	—	53	4	no	—
165	#1817	—	53	4	no	—
166	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂×C₅₃	#2310	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2984	1	4	yes	—
171	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
172	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
173	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
174	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
175	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
176	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
177	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
178	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
179	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
180	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
181	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
182	#432	—	106	4	no	—
183	#431	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂×#97	—	53	2	no	—
189	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	#336	—	53	16	no	—
191	C₅₃	#21820	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
192	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
193	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
194	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
195	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
196	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
197	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
198	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
202	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
203	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
204	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
205	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
206	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
207	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
208	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
217	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
218	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
219	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
229	#97	—	106	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
235	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
247	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	106	4	no	—
260	C₂×C₈	—	106	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
265	C₄²	—	106	8	no	—
266	C₄²	—	106	4	no	—
267	C₄²	—	106	4	no	—
268	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
269	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
277	C₂³	#13133223	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	106	16	no	—
280	Q₈	—	106	16	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	53	8	no	—
290	C₂×C₄	—	106	16	no	—
291	C₂×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂×C₄	—	106	4	no	—
294	C₂×C₄	—	106	8	no	—
295	C₂×C₄	—	212	8	no	—
296	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#13133264	1	4	yes	—
305	C₈	—	4	4	no	—
306	C₈	—	212	4	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	8	no	—
310	C₂²	#16810589	1	4	yes	—
311	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#16811100	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	106	8	no	—
320	C₄	—	212	4	no	—
321	C₄	#16810586	1	4	yes	—
322	C₄	#16811194	1	2	yes	—
323	C₄	#16811199	1	2	yes	—
324	C₂	—	2	4	no	—
325	C₂	#20277299	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂×#16810586	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂×#16810589	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#20283802	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#431	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#431	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21820
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275654	C₂	semidirect
4. #20275651	C₂	semidirect
191. C₅₃	#21820	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810680	2
#20275654	2
#20275651	2
#20274781	2
C₂×C₅₃×#431	2
#21820	53