Subgroups — #27393818

Order 13568.

1114 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275688	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275020	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20274731	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#16811180	—	2	4	no	—
9	#16811180	C₄	1	8	yes	complemented
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133209	—	2	1	no	—
13	C₂×#13133196	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133196	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133176	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810489	—	2	1	no	—
21	#16810489	—	2	1	no	—
22	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#13133124	—	2	1	no	—
25	C₂×#13133124	—	2	1	no	—
26	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#432	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
35	#13133217	—	2	2	no	—
36	#13133217	—	2	2	no	—
37	#13133217	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
38	#13133217	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
39	#13133209	—	2	8	no	—
40	#13133196	—	2	8	no	—
41	#13133196	—	2	4	no	—
42	#13133196	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
44	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
45	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	#13133176	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
55	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
58	#13133142	—	4	8	no	—
59	#13133124	—	2	2	no	—
60	#13133124	—	2	2	no	—
61	#13133124	—	2	2	no	—
62	#13133124	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
75	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	#11719919	—	2	8	no	—
121	#11719919	—	2	8	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	8	8	no	—
157	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
161	#21866	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₅₃	#419	1	4	yes	—
167	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
171	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
178	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
179	Dic₅₃	—	4	4	no	—
180	Dic₅₃	—	4	4	no	—
181	Dic₅₃	—	8	4	no	—
182	C₂×#533	—	53	1	no	—
183	C₂×#432	D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂×#382	—	53	1	no	—
185	#1993	—	53	2	no	—
186	#1960	—	53	2	no	—
187	#1872	—	53	4	no	—
188	#1805	—	53	4	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
190	C₂×C₅₃	#2311	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#2896	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#3215	1	2	yes	—
194	C₂×C₅₃	#3236	1	2	yes	—
195	#533	—	53	8	no	—
196	#533	—	106	4	no	—
197	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
198	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
199	C₂×#125	—	106	1	no	—
200	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
203	C₂×C₄×Q₈	—	106	1	no	—
204	C₂×#117	—	106	1	no	—
205	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
206	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#432	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂×#103	—	53	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	#382	—	53	2	no	—
213	#382	—	53	2	no	—
214	#382	—	106	1	no	—
215	#382	—	106	1	no	—
216	C₂×#95	—	106	1	no	—
217	C₂×#95	—	106	1	no	—
218	#340	—	53	8	no	—
219	C₅₃	#21866	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
220	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
221	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
222	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
223	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
224	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
225	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
227	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
228	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
229	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
230	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
231	#125	—	106	8	no	—
232	C₂²⋊Q₈	—	53	8	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
234	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
235	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
236	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
237	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
238	#117	—	106	8	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
251	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
257	#103	—	212	8	no	—
258	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
259	#97	—	2	4	no	—
260	#95	—	106	2	no	—
261	#95	—	106	2	no	—
262	#95	—	106	2	no	—
263	#95	—	106	2	no	—
264	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
265	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
270	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
281	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
304	C₄²	—	106	8	no	—
305	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
306	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
307	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
310	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
315	C₂³	#13133250	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	106	8	no	—
318	Q₈	—	212	8	no	—
319	Q₈	—	212	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	106	4	no	—
331	C₂×C₄	—	106	4	no	—
332	C₂×C₄	—	424	8	no	—
333	C₂×C₄	—	212	4	no	—
334	C₂×C₄	—	212	4	no	—
335	C₂×C₄	—	212	4	no	—
336	C₂×C₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
348	C₈	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	#16810633	1	4	yes	—
354	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#16811199	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
358	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	424	4	no	—
365	C₄	—	212	4	no	—
366	C₄	—	212	4	no	—
367	C₄	#16811103	1	2	yes	—
368	C₄	#16811201	1	2	yes	—
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	#20277303	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#16810633	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20283235	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20285720	1	2	yes	—
374	C₂	#20285923	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#432	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#432	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21866
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#432

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275688	C₂	semidirect
4. #20275535	C₂	semidirect
6. #20274731	C₂	semidirect
9. #16811180	C₄	semidirect
37. #13133217	C₂×C₄	semidirect
38. #13133217	C₂×C₄	semidirect
45. C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	semidirect
219. C₅₃	#21866	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂×#16810489	2
#20275688	2
#20275535	2
#20275020	2
#20274731	2
C₂×C₅₃×#432	2
#21866	53