Subgroups — #27393957

Order 13568.

1082 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275177	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20274706	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₅₃×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×M₁₆×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811229	—	2	4	no	—
12	#16811229	—	2	2	no	—
13	#16811229	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133202	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#13133192	C₄	1	4	yes	—
17	C₂×#13133192	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133179	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133174	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810685	—	2	2	no	—
21	#16810682	—	2	2	no	—
22	#16810648	—	2	4	no	—
23	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810646	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810646	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810586	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810392	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
43	M₁₆×D₅₃	—	4	4	no	—
44	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133214	—	2	1	no	—
46	#13133214	—	2	1	no	—
47	#13133214	—	2	2	no	—
48	#13133202	—	2	8	no	—
49	#13133202	—	2	8	no	—
50	#13133192	—	2	8	no	—
51	#13133192	—	2	8	no	—
52	#13133192	—	2	4	no	—
53	#13133192	—	2	4	no	—
54	#13133179	—	2	4	no	—
55	#13133179	—	2	4	no	—
56	#13133174	D₄	1	4	yes	—
57	#13133174	D₄	1	2	yes	—
58	#13133174	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
65	#13133146	—	2	4	no	—
66	#13133146	—	2	4	no	—
67	#13133133	—	4	4	no	—
68	#13133133	—	4	4	no	—
69	#13133129	—	2	4	no	—
70	#13133128	—	2	1	no	—
71	C₄×#88322	—	2	1	no	—
72	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	#125×C₅₃	—	2	1	no	—
75	#125×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#125×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
103	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
106	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
107	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	#11719921	—	2	8	no	—
118	#11719921	—	2	8	no	—
119	#11719921	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	#11719921	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	#11719917	—	2	2	no	—
126	#11719917	—	2	4	no	—
127	#11719917	—	2	2	no	—
128	C₂×#88322	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	#11719912	—	4	4	no	—
131	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	D₂₁₂	—	4	2	no	—
154	D₂₁₂	—	4	2	no	—
155	D₂₁₂	—	4	4	no	—
156	D₂₁₂	—	8	4	no	—
157	D₂₁₂	—	8	4	no	—
158	D₂₁₂	—	8	8	no	—
159	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
160	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
162	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
165	#88322	—	4	2	no	—
166	#88322	—	4	2	no	—
167	#21882	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#520	1	2	yes	—
171	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
178	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
181	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
184	Dic₅₃	—	2	2	no	—
185	Dic₅₃	—	2	4	no	—
186	C₂×#540	—	53	1	no	—
187	#2921	—	53	1	no	—
188	#2905	—	53	1	no	—
189	#1998	—	53	1	no	—
190	#1998	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	#1965	—	53	1	no	—
192	#1965	—	53	1	no	—
193	#1900	—	53	4	no	—
194	#1800	—	53	4	no	—
195	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
196	C₂×C₅₃	#2311	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#2888	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	4	2	no	—
199	D₅₃	—	8	4	no	—
200	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
201	#540	—	106	4	no	—
202	#540	—	106	2	no	—
203	#540	—	106	2	no	—
204	C₂×#127	—	53	1	no	—
205	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×#123	—	53	4	no	—
207	C₂×#121	—	53	4	no	—
208	C₂×#121	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
210	C₂×#117	—	53	1	no	—
211	#433	—	106	2	no	—
212	#433	—	106	2	no	—
213	#424	—	106	4	no	—
214	#423	—	53	2	no	—
215	#423	—	53	2	no	—
216	#423	—	53	1	no	—
217	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×#100	—	53	4	no	—
219	C₂×#100	—	53	4	no	—
220	#407	—	53	2	no	—
221	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
222	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#343	—	53	4	no	—
224	#343	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
225	C₅₃	#21882	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
228	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
229	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
230	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
231	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
232	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
233	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
234	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
235	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
237	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
238	#127	—	106	1	no	—
239	#127	—	106	1	no	—
240	#127	—	106	2	no	—
241	#125	—	2	1	no	—
242	#125	—	2	1	no	—
243	#125	—	2	2	no	—
244	#123	—	106	8	no	—
245	#123	—	106	8	no	—
246	#121	—	106	8	no	—
247	#121	—	106	8	no	—
248	#121	—	106	4	no	—
249	#121	—	106	4	no	—
250	C₄×D₄	—	106	4	no	—
251	C₄×D₄	—	106	4	no	—
252	#117	—	53	4	no	—
253	#117	—	53	2	no	—
254	#117	—	53	2	no	—
255	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
257	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
259	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
260	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
261	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
262	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
265	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
266	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
267	#100	—	212	4	no	—
268	#100	—	212	4	no	—
269	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
270	#97	—	2	1	no	—
271	#97	—	106	1	no	—
272	C₄×C₈	—	2	1	no	—
273	C₄×C₈	—	106	1	no	—
274	C₂⁴	—	53	1	no	—
275	C₂⁴	—	53	4	no	—
276	C₂×D₄	—	106	8	no	—
277	C₂×D₄	—	106	4	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	—	106	2	no	—
280	C₂×D₄	—	106	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	4	no	—
282	C₂×D₄	—	106	4	no	—
283	C₂×D₄	—	424	4	no	—
284	C₂×D₄	—	424	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
286	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
293	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	M₁₆	—	2	2	no	—
297	M₁₆	—	2	4	no	—
298	M₁₆	—	2	2	no	—
299	M₁₆	—	106	2	no	—
300	M₁₆	—	106	4	no	—
301	M₁₆	—	106	2	no	—
302	M₁₆	—	212	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	—	106	2	no	—
307	C₂×C₈	—	212	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
318	C₄²	—	53	2	no	—
319	C₄²	—	53	2	no	—
320	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂³	—	53	2	no	—
324	C₂³	—	106	2	no	—
325	C₂³	—	106	8	no	—
326	C₂³	—	106	4	no	—
327	C₂³	—	212	2	no	—
328	C₂³	—	212	4	no	—
329	C₂³	—	212	4	no	—
330	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	D₄	—	424	4	no	—
332	D₄	—	424	4	no	—
333	D₄	—	424	8	no	—
334	D₄	—	212	2	no	—
335	D₄	—	212	2	no	—
336	D₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	53	4	no	—
341	C₂×C₄	—	53	2	no	—
342	C₂×C₄	—	106	2	no	—
343	C₂×C₄	—	106	2	no	—
344	C₂×C₄	—	106	2	no	—
345	C₂×C₄	—	106	4	no	—
346	C₂×C₄	—	424	8	no	—
347	C₂×C₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	212	2	no	—
357	C₈	—	212	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	106	4	no	—
360	C₂²	—	106	2	no	—
361	C₂²	—	424	8	no	—
362	C₂²	—	424	2	no	—
363	C₂²	—	212	4	no	—
364	C₂²	—	212	4	no	—
365	C₂²	—	212	4	no	—
366	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#16811105	1	2	yes	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	106	4	no	—
372	C₄	—	106	2	no	—
373	C₄	#16811191	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#16811198	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#16811203	1	2	yes	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	424	4	no	—
378	C₂	—	212	2	no	—
379	C₂	#20277306	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20283192	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1998	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#16811229	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1998	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21882
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1998

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283351	C₂	semidirect
3. #20283277	C₂	semidirect
4. #20275709	C₂	semidirect
5. #20275555	C₂	semidirect
6. #20275554	C₂	semidirect
7. #20275177	C₂	semidirect
8. #20274706	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1998	C₂	semidirect
190. #1998	D₅₃	semidirect
225. C₅₃	#21882	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811229	2
#20283351	2
#20283277	2
#20275709	2
#20275555	2
#20275554	2
#20275177	2
#20274706	2
C₅₃×#1998	2
#21882	53