Subgroups — #27393964

Order 13568.

954 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811236	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20283277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275558	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275182	C₂	1	4	yes	maximal
8	#20274710	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₅₃×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×M₁₆×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811236	—	2	4	no	—
12	#16811236	—	2	2	no	—
13	#16811236	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133212	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#13133208	C₄	1	4	yes	—
17	C₂×#13133197	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133182	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133174	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810685	—	2	2	no	—
21	#16810682	—	2	2	no	—
22	#16810648	—	2	4	no	—
23	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810646	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810646	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810586	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810392	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
40	M₁₆×D₅₃	—	4	4	no	—
41	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
42	#13133217	—	2	1	no	—
43	#13133217	—	2	1	no	—
44	#13133217	—	2	2	no	—
45	#13133212	—	2	8	no	—
46	#13133212	—	2	8	no	—
47	#13133208	—	2	8	no	—
48	#13133208	—	2	8	no	—
49	#13133197	—	2	4	no	—
50	#13133197	—	2	4	no	—
51	#13133182	—	2	4	no	—
52	#13133182	—	2	4	no	—
53	#13133174	D₄	1	4	yes	—
54	#13133174	D₄	1	2	yes	—
55	#13133174	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
65	#13133146	—	2	4	no	—
66	#13133146	—	2	4	no	—
67	#13133135	—	4	4	no	—
68	#13133135	—	4	4	no	—
69	#13133129	—	2	4	no	—
70	#13133128	—	2	1	no	—
71	C₄×#88322	—	2	1	no	—
72	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	#125×C₅₃	—	2	1	no	—
75	#125×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#125×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
98	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
99	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
100	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	#11719921	—	2	8	no	—
111	#11719921	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	#11719921	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
116	#11719919	—	2	8	no	—
117	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	#11719917	—	2	2	no	—
123	#11719917	—	2	4	no	—
124	#11719917	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂×#88322	—	2	2	no	—
127	#11719912	—	4	4	no	—
128	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
149	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
150	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
153	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
154	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
156	#88322	—	4	2	no	—
157	#88322	—	4	2	no	—
158	#21883	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#520	1	2	yes	—
162	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
168	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	Dic₅₃	—	2	4	no	—
173	Dic₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×#541	—	53	1	no	—
175	#2921	—	53	1	no	—
176	#2905	—	53	1	no	—
177	#1998	—	53	1	no	—
178	#1998	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	#1966	—	53	1	no	—
180	#1966	—	53	1	no	—
181	#1901	—	53	4	no	—
182	#1801	—	53	4	no	—
183	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
184	C₂×C₅₃	#2311	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#2889	1	2	yes	—
186	D₅₃	—	4	2	no	—
187	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
188	#541	—	106	4	no	—
189	#541	—	106	2	no	—
190	#541	—	106	2	no	—
191	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
192	C₂×#126	—	53	4	no	—
193	C₂×#125	—	53	4	no	—
194	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
197	C₂×#117	—	53	1	no	—
198	#433	—	106	2	no	—
199	#433	—	106	2	no	—
200	#424	—	106	4	no	—
201	#423	—	53	2	no	—
202	#423	—	53	2	no	—
203	#423	—	53	1	no	—
204	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂×#101	—	53	4	no	—
206	C₂×#101	—	53	4	no	—
207	#407	—	53	2	no	—
208	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
209	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#343	—	53	4	no	—
211	#343	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
212	C₅₃	#21883	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
215	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
216	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
217	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
218	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
219	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
222	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
223	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
224	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
225	#126	—	106	8	no	—
226	#126	—	106	8	no	—
227	#125	—	2	1	no	—
228	#125	—	2	1	no	—
229	#125	—	2	2	no	—
230	#125	—	106	8	no	—
231	#125	—	106	8	no	—
232	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
234	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
235	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
236	#117	—	53	4	no	—
237	#117	—	53	2	no	—
238	#117	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
244	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
252	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
253	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
254	#101	—	212	4	no	—
255	#101	—	212	4	no	—
256	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
257	#97	—	2	1	no	—
258	#97	—	106	1	no	—
259	C₄×C₈	—	2	1	no	—
260	C₄×C₈	—	106	1	no	—
261	C₂⁴	—	53	1	no	—
262	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	M₁₆	—	2	2	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	2	no	—
279	M₁₆	—	106	2	no	—
280	M₁₆	—	106	4	no	—
281	M₁₆	—	106	2	no	—
282	M₁₆	—	212	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	212	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
301	C₄²	—	53	2	no	—
302	C₄²	—	53	2	no	—
303	C₄²	—	106	8	no	—
304	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
307	C₂³	—	53	2	no	—
308	C₂³	—	106	2	no	—
309	C₂³	—	212	2	no	—
310	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	212	2	no	—
312	Q₈	—	212	2	no	—
313	Q₈	—	212	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	53	4	no	—
318	C₂×C₄	—	53	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	2	no	—
320	C₂×C₄	—	106	2	no	—
321	C₂×C₄	—	106	2	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	—	106	4	no	—
324	C₂×C₄	—	106	8	no	—
325	C₂×C₄	—	212	2	no	—
326	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	212	2	no	—
335	C₈	—	212	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	106	2	no	—
338	C₂²	—	106	4	no	—
339	C₂²	—	424	2	no	—
340	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16811105	1	2	yes	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	106	2	no	—
346	C₄	—	106	4	no	—
347	C₄	—	212	4	no	—
348	C₄	#16811191	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#16811198	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#16811203	1	2	yes	—
351	C₂	—	2	2	no	—
352	C₂	—	212	2	no	—
353	C₂	#20277306	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20283196	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1998	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1998	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21883
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1998

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275709	C₂	semidirect
5. #20275559	C₂	semidirect
6. #20275558	C₂	semidirect
8. #20274710	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1998	C₂	semidirect
178. #1998	D₅₃	semidirect
212. C₅₃	#21883	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811236	2
#20283351	2
#20283277	2
#20275709	2
#20275559	2
#20275558	2
#20275182	2
#20274710	2
C₅₃×#1998	2
#21883	53