Subgroups — #27394120

Order 13568.

894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20275319	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274697	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274626	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810529	C₄	1	2	yes	—
16	#16810525	C₄	1	2	yes	—
17	#16810502	C₄	1	4	yes	—
18	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
27	C₂×#11719945	—	4	2	no	—
28	C₂×#11719945	—	4	2	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133176	—	4	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	#13133146	—	4	4	no	—
41	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
42	#13133129	—	4	4	no	—
43	#13133129	—	4	4	no	—
44	C₄×#88322	—	4	2	no	—
45	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₄×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
56	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	#11719945	—	4	16	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
90	#11719921	—	2	8	no	—
91	#11719921	—	2	8	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
93	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×#88322	—	2	4	no	—
95	C₂×#88322	—	2	4	no	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
102	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
122	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	D₂₁₂	—	4	4	no	—
130	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
131	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
132	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
133	#88322	—	4	4	no	—
134	#21903	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
145	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
150	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₄×C₅₃	#538	1	4	yes	—
154	Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	#2297	—	53	1	no	—
157	#1923	—	53	4	no	—
158	#1923	—	53	4	no	—
159	#1798	—	53	2	no	—
160	#1780	—	53	2	no	—
161	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
162	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
163	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×C₅₃	#2312	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	#2922	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	#2922	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	#2977	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	#2979	1	2	yes	—
169	D₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂²×#41	—	53	1	no	—
171	C₂×#117	—	53	1	no	—
172	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
179	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	#391	—	53	2	no	—
181	#390	—	53	2	no	—
182	#386	—	53	4	no	—
183	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
185	#336	—	53	4	no	—
186	#336	—	53	2	no	—
187	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₅₃	#21903	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂×#41	—	106	4	no	—
190	C₂×#41	—	212	2	no	—
191	C₂×#41	—	212	2	no	—
192	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
193	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
194	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
195	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
196	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
199	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
200	#117	—	212	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
207	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₄⋊C₈	—	212	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
215	C₄×C₈	—	4	2	no	—
216	C₄×C₈	—	212	2	no	—
217	#95	—	53	4	no	—
218	#95	—	53	4	no	—
219	C₂⁴	—	53	2	no	—
220	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#41	—	212	16	no	—
222	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
225	C₂×D₄	—	106	4	no	—
226	C₂×D₄	—	106	2	no	—
227	C₂×D₄	—	212	1	no	—
228	C₂×D₄	—	212	1	no	—
229	C₂×D₄	—	212	2	no	—
230	C₂×D₄	—	212	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	106	4	no	—
250	C₂×C₈	—	106	4	no	—
251	C₂×C₈	—	106	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	106	4	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	106	2	no	—
265	C₂³	—	106	2	no	—
266	C₂³	—	106	2	no	—
267	C₂³	—	106	4	no	—
268	C₂³	—	106	4	no	—
269	C₂³	#13133174	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	212	4	no	—
272	D₄	—	212	4	no	—
273	D₄	—	212	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	106	2	no	—
283	C₂×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂×C₄	—	106	4	no	—
285	C₂×C₄	—	106	2	no	—
286	C₂×C₄	—	106	4	no	—
287	C₂×C₄	—	106	4	no	—
288	C₂×C₄	—	212	8	no	—
289	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
295	C₈	—	4	4	no	—
296	C₈	—	212	4	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	212	2	no	—
303	C₂²	—	212	4	no	—
304	C₂²	—	212	4	no	—
305	C₂²	—	212	2	no	—
306	C₂²	—	212	2	no	—
307	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#16811097	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
311	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	212	2	no	—
316	C₄	—	212	4	no	—
317	C₄	#16811206	1	4	yes	—
318	C₂	—	4	2	no	—
319	C₂	—	424	2	no	—
320	C₂	#20277310	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#20283357	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20283360	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#20283769	1	2	yes	—
324	C₂	#20283781	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21903
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275321	C₂	semidirect
3. #20275319	C₂	semidirect
4. #20274697	C₂	semidirect
6. C₄×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
162. C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	semidirect
188. C₅₃	#21903	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277205	2
#20275321	2
#20275319	2
#20274697	2
#20274626	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#21903	53