Subgroups — #27394121

Order 13568.

894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20275318	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274697	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274627	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²⋊C₈×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1780	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810530	C₄	1	2	yes	—
16	#16810526	C₄	1	2	yes	—
17	#16810503	C₄	1	2	yes	—
18	#16810503	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
29	#13133176	—	4	2	no	—
30	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
35	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	#13133146	—	4	4	no	—
39	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
40	C₂²⋊#88322	—	4	2	no	—
41	C₂²⋊#88322	—	4	2	no	—
42	C₈×Dic₅₃	—	4	4	no	—
43	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
46	C₂×#41×C₅₃	—	4	2	no	—
47	C₂×#41×C₅₃	—	4	2	no	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
58	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
65	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
66	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
96	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
97	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
99	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
118	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
119	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
121	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	#131	1	8	yes	—
144	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
145	#88322	—	4	4	no	—
146	#21903	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
166	C₄×C₅₃	#538	1	4	yes	—
167	Dic₅₃	—	2	8	no	—
168	Dic₅₃	—	4	4	no	—
169	#2297	—	53	1	no	—
170	#1923	—	53	4	no	—
171	#1923	—	53	4	no	—
172	#1798	—	53	2	no	—
173	#1780	—	53	1	no	—
174	#1780	D₅₃	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
176	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
178	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
179	C₂×C₅₃	#2312	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#2922	1	2	yes	—
181	C₂×C₅₃	#2977	1	2	yes	—
182	C₂×C₅₃	#2979	1	2	yes	—
183	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂×#117	—	53	1	no	—
185	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
194	#391	—	53	2	no	—
195	#390	—	53	2	no	—
196	#386	—	53	2	no	—
197	#386	—	53	2	no	—
198	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
199	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
200	#336	—	53	4	no	—
201	#336	—	53	4	no	—
202	C₅₃	#21903	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂×#41	—	2	4	no	—
204	C₂×#41	—	4	2	no	—
205	C₂×#41	—	4	2	no	—
206	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×D₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×D₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×D₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
211	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
215	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
216	#117	—	212	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
223	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
225	C₄⋊C₈	—	212	4	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
229	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	212	2	no	—
231	C₂²⋊C₈	—	212	2	no	—
232	C₄×C₈	—	212	4	no	—
233	#95	—	53	4	no	—
234	#95	—	53	4	no	—
235	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#41	—	4	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	1	no	—
246	C₂×D₄	—	4	1	no	—
247	C₂×D₄	—	4	1	no	—
248	C₂×D₄	—	4	1	no	—
249	C₂×D₄	—	4	1	no	—
250	C₂×D₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	106	4	no	—
272	C₂×C₈	—	106	4	no	—
273	C₂×C₈	—	106	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
278	C₄²	—	106	4	no	—
279	C₄²	—	106	4	no	—
280	C₄²	—	212	2	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	#13133173	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	53	8	no	—
310	C₂×C₄	—	106	4	no	—
311	C₂×C₄	—	106	4	no	—
312	C₂×C₄	—	106	4	no	—
313	C₂×C₄	—	106	4	no	—
314	C₂×C₄	—	106	4	no	—
315	C₂×C₄	—	212	8	no	—
316	C₂×C₄	#13133173	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	—	212	4	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	1	no	—
327	C₂²	—	4	1	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	C₂×#13133173	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#131×D₅₃	1	4	yes	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	4	1	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	106	8	no	—
342	C₄	—	212	4	no	—
343	C₄	#16811208	1	4	yes	—
344	C₂	—	4	2	no	—
345	C₂	—	8	1	no	—
346	C₂	—	8	1	no	—
347	C₂	#20277311	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20283355	1	2	yes	—
349	C₂	#20283767	1	2	yes	—
350	C₂	#20283779	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1780	C₂
prime radical	C₂²×#41×C₅₃	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1780	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21903
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1780

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275324	C₂	semidirect
3. #20275318	C₂	semidirect
4. #20274697	C₂	semidirect
6. C₂²⋊C₈×Dic₅₃	C₂	semidirect
202. C₅₃	#21903	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277206	2
#20275324	2
#20275318	2
#20274697	2
#20274627	2
C₂²⋊C₈×Dic₅₃	2
C₅₃×#1780	2
#21903	53