Subgroups — #27394122

Order 13568.

894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20275320	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274699	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274626	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²⋊C₈×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810528	C₄	1	2	yes	—
16	#16810524	C₄	1	2	yes	—
17	#16810500	C₄	1	4	yes	—
18	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
27	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
28	C₂×#11719945	—	4	2	no	—
29	C₂×#11719945	—	4	2	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₄⋊#88322	—	4	2	no	—
42	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
43	#13133129	—	4	4	no	—
44	#13133129	—	4	4	no	—
45	C₈×Dic₅₃	—	4	4	no	—
46	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	#117×C₅₃	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
56	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	#11719945	—	4	8	no	—
75	#11719945	—	4	8	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
93	#11719921	—	2	8	no	—
94	#11719921	—	2	8	no	—
95	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
123	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	#131	1	8	yes	—
131	D₂₁₂	—	4	4	no	—
132	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
133	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
134	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
135	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
136	#88322	—	4	4	no	—
137	#21903	—	53	1	no	maximal, Sylow
138	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
146	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×C₅₃	#538	1	2	yes	—
155	C₄×C₅₃	#538	1	2	yes	—
156	Dic₅₃	—	2	8	no	—
157	Dic₅₃	—	4	2	no	—
158	#2297	—	53	1	no	—
159	#1923	—	53	4	no	—
160	#1923	—	53	4	no	—
161	#1798	—	53	1	no	—
162	#1798	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
163	#1780	—	53	2	no	—
164	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
165	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×C₅₃	#2312	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	#2922	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	#2977	1	2	yes	—
169	C₂×C₅₃	#2979	1	2	yes	—
170	D₅₃	—	8	2	no	—
171	C₂²×#41	—	53	1	no	—
172	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
181	#391	—	53	2	no	—
182	#390	—	53	2	no	—
183	#386	—	53	4	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
185	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
186	#336	—	53	4	no	—
187	#336	—	53	2	no	—
188	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₅₃	#21903	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
190	C₂×#41	—	106	2	no	—
191	C₂×#41	—	106	2	no	—
192	C₂×#41	—	212	2	no	—
193	C₂×#41	—	212	2	no	—
194	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
195	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
196	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
197	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
198	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
199	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
201	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
202	#117	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
218	C₄×C₈	—	212	4	no	—
219	#95	—	53	4	no	—
220	#95	—	53	4	no	—
221	C₂⁴	—	53	2	no	—
222	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	212	8	no	—
224	#41	—	212	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
228	C₂×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂×D₄	—	106	2	no	—
230	C₂×D₄	—	212	1	no	—
231	C₂×D₄	—	212	1	no	—
232	C₂×D₄	—	212	2	no	—
233	C₂×D₄	—	212	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	106	4	no	—
254	C₂×C₈	—	106	4	no	—
255	C₂×C₈	—	106	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	106	4	no	—
263	C₄²	—	212	2	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	106	2	no	—
268	C₂³	—	106	2	no	—
269	C₂³	—	106	2	no	—
270	C₂³	—	106	4	no	—
271	C₂³	—	106	4	no	—
272	C₂³	#13133175	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	212	4	no	—
275	D₄	—	212	4	no	—
276	D₄	—	212	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	53	8	no	—
286	C₂×C₄	—	106	4	no	—
287	C₂×C₄	—	106	4	no	—
288	C₂×C₄	—	106	2	no	—
289	C₂×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂×C₄	—	106	2	no	—
291	C₂×C₄	—	212	8	no	—
292	C₂×C₄	—	212	4	no	—
293	C₂×C₄	—	212	4	no	—
294	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	—	212	4	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	212	2	no	—
306	C₂²	—	212	4	no	—
307	C₂²	—	212	4	no	—
308	C₂²	—	212	2	no	—
309	C₂²	—	212	2	no	—
310	C₂²	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#16811097	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#131×D₅₃	1	4	yes	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	106	8	no	—
318	C₄	—	212	2	no	—
319	C₄	#16811210	1	2	yes	—
320	C₄	#16811213	1	2	yes	—
321	C₂	—	4	2	no	—
322	C₂	—	424	2	no	—
323	C₂	#20277312	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20283358	1	2	yes	—
325	C₂	#20283770	1	2	yes	—
326	C₂	#20283779	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1798	C₂
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1798	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21903
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1798

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275322	C₂	semidirect
3. #20275320	C₂	semidirect
4. #20274699	C₂	semidirect
6. C₂²⋊C₈×Dic₅₃	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1798	C₂	semidirect
162. #1798	D₅₃	semidirect
189. C₅₃	#21903	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277203	2
#20275322	2
#20275320	2
#20274699	2
#20274626	2
C₂²⋊C₈×Dic₅₃	2
C₅₃×#1798	2
#21903	53