Subgroups — #27394125

Order 13568.

1094 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#11719921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20275321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274693	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274624	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₄×#11719921	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#11719921	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133124	C₄	1	2	yes	—
21	#16810378	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#16810377	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
37	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133146	—	4	4	no	—
46	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
47	#13133129	—	4	4	no	—
48	#13133129	—	4	4	no	—
49	#13133128	—	4	2	no	—
50	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₄×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
69	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
102	#11719921	—	2	4	no	—
103	#11719921	—	2	4	no	—
104	#11719921	—	2	4	no	—
105	#11719921	M₁₆	1	8	yes	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	#131	1	4	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂²×D₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
155	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
156	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
157	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
158	#88322	—	4	4	no	—
159	#21904	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	#433	1	4	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
170	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
172	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
181	C₄×C₅₃	#538	1	4	yes	—
182	Dic₅₃	—	2	4	no	—
183	Dic₅₃	—	4	2	no	—
184	Dic₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
186	#1924	—	53	4	no	—
187	#1923	—	53	4	no	—
188	#1797	—	53	2	no	—
189	#1779	—	53	2	no	—
190	#1749	—	53	1	no	—
191	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
193	C₂×C₅₃	#2312	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	C₂×#433	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#2920	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#2974	1	2	yes	—
197	C₂×C₅₃	#2974	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	4	4	no	—
199	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
200	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
201	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
202	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂×#97	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
210	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
211	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
212	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
213	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
214	C₂×#95	—	53	2	no	—
215	#336	—	53	4	no	—
216	#336	—	53	2	no	—
217	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
218	C₅₃	#21904	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
219	C₂⁵	—	53	1	no	—
220	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
221	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
222	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
223	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
224	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
225	C₂³×C₄	—	212	2	no	—
226	C₂³×C₄	—	212	2	no	—
227	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
230	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
236	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
239	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
240	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
241	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₈	—	212	4	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
247	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	212	4	no	—
249	#97	—	212	2	no	—
250	C₄×C₈	—	4	2	no	—
251	#95	—	53	2	no	—
252	#95	—	53	2	no	—
253	#95	—	53	2	no	—
254	#95	—	53	2	no	—
255	C₂⁴	—	53	2	no	—
256	C₂⁴	—	106	4	no	—
257	C₂⁴	—	106	2	no	—
258	C₂⁴	—	106	4	no	—
259	C₂⁴	—	212	1	no	—
260	C₂⁴	—	212	1	no	—
261	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
280	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	106	4	no	—
292	C₂×C₈	—	106	4	no	—
293	C₂×C₈	—	106	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	106	4	no	—
302	C₄²	—	212	1	no	—
303	C₄²	—	212	1	no	—
304	C₂³	—	2	1	no	—
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	53	4	no	—
308	C₂³	—	106	8	no	—
309	C₂³	—	106	2	no	—
310	C₂³	—	106	2	no	—
311	C₂³	—	106	2	no	—
312	C₂³	—	106	2	no	—
313	C₂³	—	106	2	no	—
314	C₂³	—	106	2	no	—
315	C₂³	—	212	8	no	—
316	C₂³	—	212	8	no	—
317	C₂³	—	212	4	no	—
318	C₂³	—	212	4	no	—
319	C₂³	#13133174	1	2	yes	—
320	C₂³	#13133223	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	53	4	no	—
332	C₂×C₄	—	106	2	no	—
333	C₂×C₄	—	106	2	no	—
334	C₂×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	106	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	2	no	—
337	C₂×C₄	—	106	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	2	no	—
339	C₂×C₄	—	106	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	8	no	—
341	C₂×C₄	—	212	8	no	—
342	C₂×C₄	—	212	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	8	no	—
344	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	M₁₆×D₅₃	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	212	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	106	4	no	—
356	C₂²	—	106	4	no	—
357	C₂²	—	106	4	no	—
358	C₂²	—	212	16	no	—
359	C₂²	—	212	2	no	—
360	C₂²	—	212	2	no	—
361	C₂²	—	212	2	no	—
362	C₂²	—	212	2	no	—
363	C₂²	#16810682	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#16811097	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	106	4	no	—
373	C₄	—	212	2	no	—
374	C₄	—	212	2	no	—
375	C₄	#16811206	1	4	yes	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	212	4	no	—
378	C₂	#20277310	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#16810682	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20283346	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#20283746	1	2	yes	—
382	C₂	#20283749	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21904
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275326	C₂	semidirect
3. #20275321	C₂	semidirect
4. #20274693	C₂	semidirect
6. #20274477	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
11. C₂×#13133146	C₂²	semidirect
15. C₂×#13133128	C₂²	semidirect
21. #16810378	C₂²	semidirect
22. #16810377	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
26. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
191. C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	semidirect
209. C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	semidirect
217. #336	C₂×D₅₃	semidirect
218. C₅₃	#21904	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#11719921	2
#20275326	2
#20275321	2
#20274693	2
#20274624	2
#20274477	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#21904	53