Subgroups — #27394322

Order 13568.

1258 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274900	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274895	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274695	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	8	yes	complemented
10	#16810587	—	2	4	no	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
12	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810378	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#95×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
26	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
27	C₂×#11719917	—	4	4	no	—
28	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
29	C₂²×#88322	—	4	4	no	—
30	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	C₄⋊#88322	—	4	8	no	—
33	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
34	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
35	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
36	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
37	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
39	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
63	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂²⋊C₄×C₅₃	M₁₆	1	8	yes	complemented
95	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
98	#11719917	—	4	8	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂×#88322	—	2	4	no	—
101	C₂×#88322	—	2	8	no	—
102	C₂×#88322	—	2	8	no	—
103	C₂×#88322	—	4	8	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
119	C₂³×C₅₃	#131	1	4	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
146	#88322	—	4	4	no	—
147	#88322	—	4	4	no	—
148	#21932	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	#423	1	4	yes	—
161	C₂²×C₅₃	#424	1	4	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	#534	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	#543	1	2	yes	—
173	C₂×#407	—	53	1	no	—
174	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
175	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	#1851	—	53	4	no	—
177	#1850	—	53	4	no	—
178	#1797	—	53	4	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₂×C₅₃	#2315	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#2974	1	4	yes	—
186	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
188	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
192	#407	—	106	4	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
198	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
200	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
202	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂×#95	Dic₅₃	1	2	yes	—
204	#336	—	53	8	no	—
205	C₅₃	#21932	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂⁵	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂³×C₄	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
209	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	4	yes	—
210	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
211	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
218	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
219	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
220	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
221	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
222	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
228	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₈	—	212	8	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
236	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
237	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
238	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	—	2	4	no	—
241	C₂⁴	—	4	2	no	—
242	C₂⁴	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
243	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	212	8	no	—
273	C₂×C₈	—	106	4	no	—
274	C₂×C₈	—	106	4	no	—
275	C₂×C₈	—	106	8	no	—
276	C₂×C₈	—	106	8	no	—
277	C₂×C₈	—	212	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	#11719917	1	8	yes	complemented
281	C₄²	—	2	8	no	—
282	C₄²	—	4	2	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	16	no	—
295	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#11719917	1	4	yes	—
299	C₂³	#13133224	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#13133262	1	4	yes	—
326	C₈	—	212	4	no	—
327	C₈	—	212	4	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	16	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	#16810647	1	4	yes	—
340	C₂²	#16810650	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#16811098	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂²×#11719917	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#13133224	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	#16811185	1	2	yes	—
351	C₄	#16811249	1	2	yes	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	2	4	no	—
354	C₂	—	4	2	no	—
355	C₂	#20277329	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#16810647	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂×#16810650	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20283750	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21932
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274900	C₂	semidirect
4. #20274895	C₂	semidirect
5. #20274695	C₂	semidirect
9. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
16. #16810378	C₂²	semidirect
94. C₂²⋊C₄×C₅₃	M₁₆	semidirect
205. C₅₃	#21932	semidirect
280. C₂²⋊C₄	#11719917	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810587	2
C₂²×C₂²⋊#88322	2
#20274900	2
#20274895	2
#20274695	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	2
#21932	53