Subgroups — #27394328

Order 13568.

1114 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274900	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274895	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274699	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	8	yes	complemented
10	#16810587	—	2	4	no	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
12	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810378	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₅₃×#381	C₄	1	2	yes	—
20	C₅₃×#380	C₄	1	2	yes	—
21	C₅₃×#380	C₄	1	2	yes	—
22	C₅₃×#379	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
26	C₂×#11719917	—	4	4	no	—
27	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
28	C₂²×#88322	—	4	4	no	—
29	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
31	C₄⋊#88322	—	4	8	no	—
32	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
33	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
34	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
35	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
36	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
38	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#117×C₅₃	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
52	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
56	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
85	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
87	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
88	#11719917	—	4	8	no	—
89	C₂×#88322	—	2	4	no	—
90	C₂×#88322	—	2	4	no	—
91	C₂×#88322	—	2	8	no	—
92	C₂×#88322	—	2	8	no	—
93	C₂×#88322	—	4	8	no	—
94	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
106	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	#131	1	4	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
132	#88322	—	4	4	no	—
133	#88322	—	4	4	no	—
134	#21933	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	#424	1	4	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
151	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
156	C₄×C₅₃	#534	1	2	yes	—
157	C₄×C₅₃	#543	1	2	yes	—
158	C₂×#407	—	53	1	no	—
159	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
160	#2280	D₅₃	1	1	yes	characteristic
161	#1851	—	53	4	no	—
162	#1850	—	53	4	no	—
163	#1798	—	53	4	no	—
164	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×C₅₃	#2315	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	#2905	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2976	1	4	yes	—
171	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
173	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
174	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
176	#407	—	106	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
182	#381	Dic₅₃	1	2	yes	—
183	#380	Dic₅₃	1	2	yes	—
184	#380	Dic₅₃	1	2	yes	—
185	#379	Dic₅₃	1	2	yes	—
186	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
187	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	#336	—	53	8	no	—
189	C₅₃	#21933	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
190	C₂⁵	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂³×C₄	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
193	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	4	yes	—
194	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
201	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
202	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
203	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
205	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
206	#117	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
212	C₄⋊C₈	—	212	8	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
217	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
218	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	—	4	2	no	—
222	C₂⁴	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
223	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	M₁₆	—	212	8	no	—
249	C₂×C₈	—	106	4	no	—
250	C₂×C₈	—	106	4	no	—
251	C₂×C₈	—	106	8	no	—
252	C₂×C₈	—	106	8	no	—
253	C₂×C₈	—	212	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
274	C₂³	#13133224	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#13133262	1	4	yes	—
297	C₈	—	212	4	no	—
298	C₈	—	212	4	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	8	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	4	16	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	#16810650	1	4	yes	—
312	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#16811098	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×#13133224	1	2	yes	—
315	C₂²	#16811390	1	2	yes	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	4	8	no	—
320	C₄	#16811185	1	2	yes	—
321	C₄	#16811249	1	2	yes	—
322	C₂	—	2	4	no	—
323	C₂	—	4	2	no	—
324	C₂	—	4	2	no	—
325	C₂	#20277329	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂×#16810650	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#20283279	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#20283763	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#2280	C₂
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2280	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21933
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2280

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274900	C₂	semidirect
4. #20274895	C₂	semidirect
5. #20274699	C₂	semidirect
9. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
16. #16810378	C₂²	semidirect
189. C₅₃	#21933	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810587	2
C₂²×C₂²⋊#88322	2
#20274900	2
#20274895	2
#20274699	2
C₅₃×#2280	2
#21933	53