Subgroups — #27394466

Order 13568.

818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275483	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275481	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274742	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274738	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810491	—	2	1	no	—
16	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810486	—	2	1	no	—
18	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
21	#16810469	—	2	1	no	—
22	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#383	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#382	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#381	—	2	1	no	—
28	C₅₃×#380	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
31	C₅₃×#376	—	2	1	no	—
32	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
33	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
34	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	#13133150	—	4	4	no	—
42	#13133148	—	4	4	no	—
43	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	#13133124	—	2	2	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
62	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
63	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
64	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
82	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
86	C₄²×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₄²×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	4	4	no	—
99	C₂×#88322	—	4	4	no	—
100	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₅₃	#135	1	4	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	#88322	—	2	4	no	—
133	#88322	—	2	4	no	—
134	#21960	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₅₃	#427	1	4	yes	—
139	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₅₃	#537	1	2	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
142	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
143	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
149	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
151	C₄×C₅₃	#544	1	2	yes	—
152	Dic₅₃	—	8	4	no	—
153	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
154	#2283	—	53	1	no	—
155	#2283	D₅₃	1	1	yes	characteristic
156	#1949	—	53	4	no	—
157	#1949	—	53	4	no	—
158	#1808	—	53	2	no	—
159	#1807	—	53	2	no	—
160	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂×C₅₃	#2316	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₅₃	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₅₃	#2911	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	#3250	1	4	yes	—
165	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
166	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
167	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
168	C₂×#107	—	53	4	no	—
169	C₂×#106	—	53	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
173	#383	—	2	1	no	—
174	#383	—	106	1	no	—
175	#382	—	53	2	no	—
176	#382	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
177	#381	—	2	1	no	—
178	#381	—	106	1	no	—
179	#380	—	53	2	no	—
180	#380	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
181	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
182	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
185	#376	—	2	1	no	—
186	#376	—	106	1	no	—
187	#340	—	53	4	no	—
188	#340	—	53	4	no	—
189	C₅₃	#21960	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
190	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
194	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
195	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
196	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
197	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
198	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
205	C₂×C₄²	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	212	4	no	—
212	#106	—	212	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
214	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	—	2	2	no	—
217	#95	—	2	2	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	106	2	no	—
220	#95	—	106	2	no	—
221	#95	—	106	2	no	—
222	#95	—	106	2	no	—
223	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
230	C₂²×C₄	#11719919	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#11719919	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	—	53	4	no	—
241	C₂×C₈	—	53	4	no	—
242	C₂×C₈	—	106	4	no	—
243	C₂×C₈	—	106	4	no	—
244	C₂×C₈	—	212	4	no	—
245	C₂×C₈	—	212	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
252	C₄²	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	212	4	no	—
254	C₄²	#11719919	1	4	yes	—
255	C₄²	#11719919	1	4	yes	—
256	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	C₂×#11719919	1	2	yes	—
263	C₂³	#13133237	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	212	4	no	—
279	C₂×C₄	—	212	4	no	—
280	C₂×C₄	—	212	4	no	—
281	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#11719919	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
290	C₈	—	106	4	no	—
291	C₈	—	106	4	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	#16810659	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂²×#11719919	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#16811201	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
299	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	8	4	no	—
306	C₄	—	424	4	no	—
307	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
308	C₄	#16811100	1	1	yes	characteristic
309	C₄	#16811251	1	2	yes	—
310	C₂	—	2	4	no	—
311	C₂	#20277331	1	1	yes	characteristic
312	C₂	C₂×#16810659	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#20283304	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#20286062	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2283	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2283	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21960
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2283

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275483	C₂	semidirect
4. #20275481	C₂	semidirect
12. C₂×C₄⋊#88322	C₄	semidirect
189. C₅₃	#21960	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊#88322	2
#20277113	2
#20275483	2
#20275481	2
#20274742	2
#20274738	2
C₅₃×#2283	2
#21960	53