Subgroups — #27394521

Order 13568.

734 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283344	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#13133146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275489	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275487	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274751	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#16810677	—	2	2	no	—
11	#16810677	—	2	2	no	—
12	#16810673	—	2	2	no	—
13	#16810673	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133152	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810646	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133146	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×#13133146	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#13133146	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810587	C₂²	1	2	yes	—
23	M₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810387	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#407	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×Dic₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×Dic₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
34	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Dic₅₃	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133153	—	4	2	no	—
46	#13133152	—	4	4	no	—
47	#13133146	—	2	4	no	—
48	#13133146	—	2	4	no	—
49	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
54	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
55	#13133127	—	2	4	no	—
56	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#108×C₅₃	—	4	2	no	—
65	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
87	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
96	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	#11719917	—	2	4	no	—
104	#11719917	—	2	4	no	—
105	C₂×#88322	—	2	4	no	—
106	C₂×#88322	—	2	4	no	—
107	C₂×#88322	—	4	2	no	—
108	C₂×#88322	—	4	2	no	—
109	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	#108	1	4	yes	complemented
137	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
144	#88322	—	2	4	no	—
145	#88322	—	4	4	no	—
146	#21969	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×#108	1	2	yes	—
155	C₂²×C₅₃	#430	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#544	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
160	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
163	Dic₅₃	—	2	2	no	—
164	Dic₅₃	—	2	2	no	—
165	Dic₅₃	—	2	2	no	—
166	Dic₅₃	C₂×#108	1	4	yes	—
167	#2920	—	53	2	no	—
168	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
169	#1950	—	53	4	no	—
170	#1950	—	53	4	no	—
171	#1810	—	53	2	no	—
172	#1810	—	53	1	no	—
173	#1810	D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₂×C₅₃	#2316	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
180	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
181	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
183	#432	—	106	2	no	—
184	#432	—	106	2	no	—
185	#431	—	106	2	no	—
186	#431	—	106	2	no	—
187	C₂×#108	—	53	4	no	—
188	C₂×#108	—	53	2	no	—
189	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	#423	—	53	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
196	#407	—	53	2	no	—
197	#407	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	C₄×M₁₆	—	53	4	no	—
199	#341	—	53	4	no	—
200	#341	—	53	2	no	—
201	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
202	C₅₃	#21969	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
204	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
205	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
207	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
208	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
210	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
211	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
212	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
213	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
218	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
220	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
223	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
225	#108	—	4	2	no	—
226	#108	—	212	2	no	—
227	#108	—	212	4	no	—
228	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
229	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
230	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
231	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
232	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
233	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
238	#97	—	106	4	no	—
239	C₄×C₈	—	106	4	no	—
240	C₂⁴	Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	106	4	no	—
262	M₁₆	—	106	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	53	4	no	—
269	C₂×C₈	—	106	4	no	—
270	C₂×C₈	—	106	4	no	—
271	C₂×C₈	—	212	2	no	—
272	C₂×C₈	—	212	2	no	—
273	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₄²	—	53	2	no	—
276	C₄²	—	53	2	no	—
277	C₄²	—	53	2	no	—
278	C₄²	—	53	2	no	—
279	C₄²	—	53	2	no	—
280	C₄²	—	53	2	no	—
281	C₄²	—	53	2	no	—
282	C₄²	—	53	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	53	2	no	—
297	C₂×C₄	—	53	4	no	—
298	C₂×C₄	—	53	2	no	—
299	C₂×C₄	—	53	2	no	—
300	C₂×C₄	—	53	2	no	—
301	C₂×C₄	—	106	4	no	—
302	C₂×C₄	—	106	4	no	—
303	C₂×C₄	—	106	2	no	—
304	C₂×C₄	—	106	4	no	—
305	C₂×C₄	—	212	1	no	—
306	C₂×C₄	—	212	1	no	—
307	C₂×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	106	4	no	—
318	C₈	—	212	4	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	#108×D₅₃	1	2	yes	—
327	C₂²	#16810670	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#16811252	1	2	yes	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	53	4	no	—
333	C₄	—	106	2	no	—
334	C₄	—	106	2	no	—
335	C₄	—	106	2	no	—
336	C₄	#16811096	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#16811100	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#16811200	1	2	yes	—
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	#20277332	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#108×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#16810670	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1810	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×Q₈
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1810	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21969
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1810

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275489	C₂	semidirect
4. #20275487	C₂	semidirect
136. C₂×Dic₅₃	#108	semidirect
202. C₅₃	#21969	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283344	2
C₂²×#13133146	2
#20275489	2
#20275487	2
#20274753	2
#20274751	2
C₅₃×#1810	2
#21969	53