Subgroups — #27394694

Order 13568.

762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810682	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274917	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274904	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274884	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20274848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133175	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133174	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810682	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133129	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810520	—	2	2	no	—
24	#16810515	—	2	2	no	—
25	#16810510	—	2	2	no	—
26	#16810497	—	2	2	no	—
27	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810492	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810488	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810480	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
43	#13133175	—	4	2	no	—
44	#13133174	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#13133174	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
52	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
53	C₂×#11719919	D₄	1	2	yes	—
54	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
55	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
56	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719921	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133151	—	4	2	no	—
62	#13133151	—	4	2	no	—
63	#13133150	—	4	2	no	—
64	#13133148	—	4	2	no	—
65	#13133146	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#13133129	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#13133128	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	#13133124	—	2	2	no	—
70	#13133124	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
78	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	#11719921	—	4	2	no	—
105	#11719921	—	8	2	no	—
106	#11719921	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	8	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	8	2	no	—
113	#11719919	—	4	2	no	—
114	#11719919	—	8	2	no	—
115	#11719919	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
116	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	—	2	2	no	—
122	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
158	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
160	#88322	—	2	4	no	—
161	#21991	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
166	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
167	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
173	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
174	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
175	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
176	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	#544	1	2	yes	—
178	Dic₅₃	—	2	2	no	—
179	Dic₅₃	—	2	4	no	—
180	Dic₅₃	—	8	1	no	—
181	Dic₅₃	—	8	1	no	—
182	Dic₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×#433	—	53	1	no	—
184	#2317	—	53	1	no	—
185	#2314	—	53	1	no	—
186	#1949	—	53	2	no	—
187	#1947	—	53	2	no	—
188	#1854	—	53	2	no	—
189	#1852	—	53	2	no	—
190	#1847	—	53	1	no	—
191	#1845	—	53	1	no	—
192	#1836	—	53	1	no	—
193	#1835	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
194	C₂×C₅₃	#2317	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#2913	1	2	yes	—
196	C₂×C₅₃	#3220	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3223	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#3243	1	2	yes	—
199	D₅₃	—	4	2	no	—
200	C₂×#117	—	53	1	no	—
201	C₂×#117	—	53	1	no	—
202	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
203	#433	—	53	8	no	—
204	C₂×#107	—	53	2	no	—
205	C₂×#107	—	53	2	no	—
206	C₂×#107	—	53	2	no	—
207	C₂×#106	—	53	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
210	C₂×#97	—	53	1	no	—
211	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	#389	—	106	2	no	—
213	#388	—	106	2	no	—
214	#387	—	106	2	no	—
215	#385	—	106	2	no	—
216	#384	—	53	1	no	—
217	#384	—	53	1	no	—
218	#384	—	53	1	no	—
219	#382	—	53	1	no	—
220	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#380	—	53	2	no	—
223	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
224	#340	—	53	2	no	—
225	#340	—	53	2	no	—
226	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₅₃	#21991	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
229	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
230	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
233	#117	—	53	4	no	—
234	#117	—	53	4	no	—
235	#117	—	212	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
251	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
252	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
253	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
254	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	#107	—	212	2	no	—
256	#107	—	212	2	no	—
257	#107	—	212	2	no	—
258	#106	—	212	2	no	—
259	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
260	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
261	#97	—	53	4	no	—
262	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
263	#95	—	2	2	no	—
264	#95	—	2	2	no	—
265	#95	—	106	2	no	—
266	#95	—	106	2	no	—
267	#95	—	106	2	no	—
268	C₂⁴	—	53	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
283	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	53	4	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
306	C₄²	—	53	2	no	—
307	C₄²	—	53	2	no	—
308	C₄²	—	424	2	no	—
309	C₄²	—	212	2	no	—
310	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂³	—	53	2	no	—
313	C₂³	—	106	2	no	—
314	C₂³	—	106	2	no	—
315	C₂³	—	106	1	no	—
316	C₂³	—	106	1	no	—
317	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	53	4	no	—
328	C₂×C₄	—	53	2	no	—
329	C₂×C₄	—	106	2	no	—
330	C₂×C₄	—	106	2	no	—
331	C₂×C₄	—	106	1	no	—
332	C₂×C₄	—	106	1	no	—
333	C₂×C₄	—	106	4	no	—
334	C₂×C₄	—	106	4	no	—
335	C₂×C₄	—	424	4	no	—
336	C₂×C₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	1	no	—
341	C₂×C₄	—	212	1	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	—	106	4	no	—
350	C₂²	—	106	2	no	—
351	C₂²	—	106	4	no	—
352	C₂²	—	212	2	no	—
353	C₂²	—	212	1	no	—
354	C₂²	—	212	1	no	—
355	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#16811191	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#16811193	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#16811425	1	2	yes	—
359	C₂²	#16811437	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	8	1	no	—
363	C₄	—	8	1	no	—
364	C₄	—	106	2	no	—
365	C₄	—	106	4	no	—
366	C₄	—	424	1	no	—
367	C₄	—	424	2	no	—
368	C₄	—	424	1	no	—
369	C₄	#16811103	1	2	yes	—
370	C₄	#16811253	1	2	yes	—
371	C₂	—	212	2	no	—
372	C₂	#20277340	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20283312	1	2	yes	—
374	C₂	#20285768	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#20285801	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20285991	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1835	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1835	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21991
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1835

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275486	C₂	semidirect
5. #20275472	C₂	semidirect
8. #20274884	C₂	semidirect
9. #20274875	C₂	semidirect
10. #20274848	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1835	C₂	semidirect
15. #16810682	C₄	semidirect
65. #13133146	C₂×C₄	semidirect
67. #13133128	C₂×C₄	semidirect
76. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
193. #1835	D₅₃	semidirect
228. C₅₃	#21991	semidirect
262. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810682	2
#20277340	2
#20277325	2
#20275486	2
#20275472	2
#20274917	2
#20274904	2
#20274884	2
#20274875	2
#20274848	2
C₅₃×#1835	2
#21991	53