Subgroups — #27397917

Order 13568.

922 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275529	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275064	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275057	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133205	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133182	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133179	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811007	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810528	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810524	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810513	—	2	2	no	—
25	#16810513	—	2	2	no	—
26	#16810494	—	2	2	no	—
27	#16810494	—	2	2	no	—
28	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#384	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
35	C₅₃×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
41	C₂×#11719913	—	4	2	no	—
42	C₂×#11719913	—	4	2	no	—
43	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
44	C₂×D₄₂₄	—	4	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133205	—	2	4	no	—
48	#13133205	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
49	#13133182	—	4	2	no	—
50	#13133182	—	4	2	no	—
51	#13133179	—	4	2	no	—
52	#13133179	—	4	2	no	—
53	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
54	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
55	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
56	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
58	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	#13133140	—	4	2	no	—
62	#13133140	—	4	2	no	—
63	#13133137	—	4	2	no	—
64	#13133137	—	4	2	no	—
65	#13133128	—	2	2	no	—
66	#13133124	—	2	2	no	—
67	#13133124	—	2	2	no	—
68	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#13133124	D₄	1	2	yes	—
70	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
113	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
115	#11719921	—	2	8	no	—
116	#11719921	—	2	8	no	—
117	#11719921	—	4	4	no	—
118	#11719921	—	8	2	no	—
119	#11719921	—	8	2	no	—
120	#11719919	—	4	4	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂×#88322	—	2	2	no	—
127	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
128	D₄₂₄	—	4	4	no	—
129	#11719913	—	4	8	no	—
130	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	D₂₁₂	—	2	4	no	—
163	D₂₁₂	—	2	4	no	—
164	D₂₁₂	—	4	2	no	—
165	D₂₁₂	—	4	2	no	—
166	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
167	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
168	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
169	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
171	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
173	#88322	—	4	2	no	—
174	#22274	—	53	1	no	maximal, Sylow
175	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₅₃	#535	1	2	yes	—
177	C₂²×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
179	C₂²×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
180	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
181	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
183	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
189	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
191	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₅₃	#540	1	2	yes	—
194	Dic₅₃	—	4	4	no	—
195	Dic₅₃	—	4	2	no	—
196	Dic₅₃	—	4	2	no	—
197	C₂×#495	—	53	1	no	—
198	#2326	—	53	2	no	—
199	#1959	—	53	2	no	—
200	#1880	—	53	2	no	—
201	#1879	—	53	2	no	—
202	#1878	—	53	2	no	—
203	#1877	—	53	2	no	—
204	#1834	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
205	#1746	—	53	1	no	—
206	C₂×C₅₃	#2328	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₅₃	#2951	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₅₃	#2952	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	#3224	1	2	yes	—
210	C₂×C₅₃	#3225	1	2	yes	—
211	D₅₃	—	8	4	no	—
212	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
213	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
214	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
215	C₂×#124	—	53	2	no	—
216	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
217	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
218	#495	—	53	8	no	—
219	C₂×#103	—	53	2	no	—
220	C₂×#103	—	53	2	no	—
221	C₂×#102	—	53	2	no	—
222	C₂×#102	—	53	2	no	—
223	C₂×#97	—	53	1	no	—
224	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#391	—	53	2	no	—
226	#390	—	53	2	no	—
227	#388	—	106	2	no	—
228	#388	—	106	2	no	—
229	#385	—	106	2	no	—
230	#385	—	106	2	no	—
231	#384	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
232	#376	—	53	1	no	—
233	#340	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
235	#340	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#336	—	53	2	no	—
237	#336	—	53	2	no	—
238	C₅₃	#22274	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
240	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
241	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
242	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
243	C₂×Q₁₆	—	212	2	no	—
244	C₂×SD₁₆	—	53	8	no	—
245	C₂×SD₁₆	—	212	2	no	—
246	C₂×SD₁₆	—	212	2	no	—
247	C₂×D₈	—	53	4	no	—
248	C₂×D₈	—	212	2	no	—
249	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
250	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	#124	—	53	8	no	—
253	#124	—	106	4	no	—
254	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
255	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
256	C₄×D₄	—	212	2	no	—
257	C₄×D₄	—	212	2	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
264	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
265	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
266	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
267	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
268	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
269	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
270	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	#103	—	212	2	no	—
272	#103	—	212	2	no	—
273	#102	—	212	2	no	—
274	#102	—	212	2	no	—
275	#97	—	106	2	no	—
276	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
277	#95	—	53	1	no	—
278	#95	—	53	2	no	—
279	#95	—	53	1	no	—
280	#95	—	106	2	no	—
281	#95	—	106	2	no	—
282	C₂⁴	—	106	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
289	C₂×D₄	—	53	4	no	—
290	C₂×D₄	—	106	2	no	—
291	C₂×D₄	—	106	2	no	—
292	C₂×D₄	—	106	2	no	—
293	C₂×D₄	—	106	2	no	—
294	C₂×D₄	—	106	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
301	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
303	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	Q₁₆	—	212	4	no	—
307	SD₁₆	—	212	8	no	—
308	D₈	—	212	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	106	2	no	—
312	C₂×C₈	—	106	2	no	—
313	C₂×C₈	—	106	2	no	—
314	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
328	C₄²	—	106	2	no	—
329	C₄²	—	106	2	no	—
330	C₄²	—	212	4	no	—
331	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
332	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
333	C₂³	—	106	4	no	—
334	C₂³	—	212	2	no	—
335	C₂³	—	212	2	no	—
336	C₂³	—	212	2	no	—
337	C₂³	—	212	2	no	—
338	C₂³	—	212	2	no	—
339	C₂³	—	212	2	no	—
340	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	106	4	no	—
342	Q₈	—	106	4	no	—
343	Q₈	—	212	2	no	—
344	Q₈	—	212	2	no	—
345	D₄	—	106	4	no	—
346	D₄	—	106	4	no	—
347	D₄	—	212	2	no	—
348	D₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	106	4	no	—
359	C₂×C₄	—	106	2	no	—
360	C₂×C₄	—	106	2	no	—
361	C₂×C₄	—	106	2	no	—
362	C₂×C₄	—	106	2	no	—
363	C₂×C₄	—	106	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	2	no	—
365	C₂×C₄	—	424	8	no	—
366	C₂×C₄	—	212	2	no	—
367	C₂×C₄	—	212	2	no	—
368	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	212	2	no	—
377	C₂²	—	424	2	no	—
378	C₂²	—	424	2	no	—
379	C₂²	—	424	2	no	—
380	C₂²	—	424	2	no	—
381	C₂²	—	212	4	no	—
382	C₂²	—	212	4	no	—
383	C₂²	—	212	4	no	—
384	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#16811191	1	2	yes	—
386	C₂²	#16811424	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#16811429	1	2	yes	—
388	C₂²	#16811436	1	1	yes	characteristic
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	8	2	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	—	212	2	no	—
394	C₄	—	212	2	no	—
395	C₄	—	212	4	no	—
396	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#16811229	1	2	yes	—
399	C₂	—	424	4	no	—
400	C₂	#20277438	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#20283589	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20283598	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#20285812	1	2	yes	—
404	C₂	#20285827	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1834	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1834	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22274
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1834

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277423	C₂	semidirect
3. #20275529	C₂	semidirect
4. #20275071	C₂	semidirect
6. #20275057	C₂	semidirect
7. #20275050	C₂	semidirect
8. #20274466	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1834	C₂	semidirect
16. #16811007	C₄	semidirect
40. C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
43. C₂×#11719913	C₂×C₄	semidirect
48. #13133205	C₂×C₄	semidirect
78. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
204. #1834	D₅₃	semidirect
238. C₅₃	#22274	semidirect
276. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811007	2
#20277423	2
#20275529	2
#20275071	2
#20275064	2
#20275057	2
#20275050	2
#20274466	2
C₅₃×#1834	2
#22274	53