Subgroups — #27397928

Order 13568.

938 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810996	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275069	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275048	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20274846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719913	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810996	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810508	—	2	4	no	—
21	#16810501	—	2	4	no	—
22	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
35	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
36	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
37	#13133217	—	2	2	no	—
38	#13133217	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
39	#13133214	—	2	2	no	—
40	#13133214	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₄×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
42	C₄×D₂₁₂	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133142	—	4	4	no	—
51	#13133139	—	4	4	no	—
52	#13133124	—	2	2	no	—
53	#13133124	—	2	4	no	—
54	#13133124	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#95×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
76	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
93	#11719921	—	4	4	no	—
94	#11719921	—	8	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	#11719919	—	4	4	no	—
99	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
100	#11719913	—	4	16	no	—
101	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
124	D₂₁₂	—	2	8	no	—
125	D₂₁₂	—	4	4	no	—
126	D₂₁₂	—	8	8	no	—
127	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
128	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
129	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
130	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
131	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
132	#22275	—	53	1	no	maximal, Sylow
133	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	#577	1	4	yes	—
137	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
141	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₄×C₅₃	#518	1	2	yes	—
146	C₄×C₅₃	#540	1	2	yes	—
147	Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	Dic₅₃	—	8	2	no	—
149	Dic₅₃	—	8	2	no	—
150	C₂×#492	—	53	1	no	—
151	#2328	—	53	1	no	—
152	#2327	—	53	1	no	—
153	#1961	—	53	1	no	—
154	#1960	—	53	1	no	—
155	#1880	—	53	4	no	—
156	#1877	—	53	4	no	—
157	#1835	—	53	1	no	—
158	#1746	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
159	C₂×C₅₃	#2328	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	#2949	1	2	yes	—
161	C₂×C₅₃	#3221	1	2	yes	—
162	C₂×C₅₃	#3222	1	2	yes	—
163	D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
165	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
166	C₂×#127	—	53	1	no	—
167	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
168	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
169	#492	—	53	8	no	—
170	C₂×#103	—	53	4	no	—
171	C₂×#102	—	53	4	no	—
172	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	#391	—	53	2	no	—
175	#390	—	53	2	no	—
176	#387	—	106	4	no	—
177	#386	—	106	4	no	—
178	#382	—	53	1	no	—
179	#382	—	53	1	no	—
180	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	#340	—	53	4	no	—
182	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₅₃	#22275	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
185	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
186	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
187	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
188	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
189	C₂×SD₁₆	—	53	16	no	—
190	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
191	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
192	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
195	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
196	#127	—	53	4	no	—
197	#127	—	106	2	no	—
198	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
199	C₄×D₄	—	212	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
207	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#103	—	212	4	no	—
211	#102	—	212	4	no	—
212	#97	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
214	#95	—	106	2	no	—
215	#95	—	106	2	no	—
216	#95	—	106	4	no	—
217	#95	D₂₁₂	1	4	yes	—
218	C₂⁴	—	106	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
223	C₂×D₄	—	53	4	no	—
224	C₂×D₄	—	106	8	no	—
225	C₂×D₄	—	106	2	no	—
226	C₂×D₄	—	106	4	no	—
227	C₂×D₄	—	106	4	no	—
228	C₂×D₄	—	424	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	SD₁₆	—	212	16	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	212	4	no	—
254	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
256	C₂³	—	106	4	no	—
257	C₂³	—	212	4	no	—
258	C₂³	—	212	4	no	—
259	C₂³	—	212	2	no	—
260	C₂³	—	212	2	no	—
261	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
262	Q₈	—	106	8	no	—
263	Q₈	—	212	4	no	—
264	D₄	—	106	8	no	—
265	D₄	—	424	8	no	—
266	D₄	—	212	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	106	4	no	—
273	C₂×C₄	—	424	8	no	—
274	C₂×C₄	—	212	4	no	—
275	C₂×C₄	—	212	4	no	—
276	C₂×C₄	—	212	2	no	—
277	C₂×C₄	—	212	2	no	—
278	C₂×C₄	—	212	2	no	—
279	C₂×C₄	—	212	2	no	—
280	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
285	C₈	—	2	4	no	—
286	C₈	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	424	4	no	—
288	C₂²	—	424	2	no	—
289	C₂²	—	424	2	no	—
290	C₂²	—	212	8	no	—
291	C₂²	—	212	4	no	—
292	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#16811435	1	4	yes	—
296	C₄	—	2	4	no	—
297	C₄	—	4	2	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	424	2	no	—
300	C₄	—	424	2	no	—
301	C₄	—	212	4	no	—
302	C₄	#16811097	1	2	yes	—
303	C₄	#16811228	1	2	yes	—
304	C₂	—	424	4	no	—
305	C₂	#20277440	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#20283576	1	2	yes	—
307	C₂	#20285778	1	2	yes	—
308	C₂	#20285789	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1746	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1746	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22275
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #1746

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277434	C₂	semidirect
5. #20275535	C₂	semidirect
6. #20275069	C₂	semidirect
7. #20275048	C₂	semidirect
8. #20274846	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1746	C₂	semidirect
15. #16810996	C₄	semidirect
36. C₂×#11719913	C₂×C₄	semidirect
38. #13133217	C₂×C₄	semidirect
61. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
158. #1746	D₅₃	semidirect
184. C₅₃	#22275	semidirect
213. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810996	2
#20277440	2
#20277434	2
#20275539	2
#20275535	2
#20275069	2
#20275048	2
#20274846	2
C₅₃×#1746	2
#22275	53