Subgroups — #27397935

Order 13568.

1050 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810999	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20277438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275061	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275060	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274468	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719922	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133179	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810999	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810526	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810524	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810503	—	2	4	no	—
20	#16810501	—	2	4	no	—
21	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#102×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
35	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
36	C₂×#11719922	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
37	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
38	#13133214	—	2	2	no	—
39	#13133214	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
40	D₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
41	#13133179	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#13133139	—	4	4	no	—
50	C₄×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
51	#13133124	—	2	2	no	—
52	#13133124	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
57	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#102×C₅₃	—	4	4	no	—
61	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
62	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	8	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
93	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
94	C₂²⋊Dic₅₃	—	8	4	no	—
95	#11719922	—	4	16	no	—
96	#11719921	—	4	4	no	—
97	#11719921	—	8	4	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×#88322	—	2	2	no	—
102	C₂×#88322	—	2	2	no	—
103	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
115	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
117	D₄×C₅₃	—	8	8	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	8	8	no	—
133	D₂₁₂	—	2	8	no	—
134	D₂₁₂	—	4	4	no	—
135	D₂₁₂	—	8	8	no	—
136	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
138	#88322	—	2	4	no	—
139	#22276	—	53	1	no	maximal, Sylow
140	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	#576	1	4	yes	—
149	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
151	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
152	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
153	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
156	C₄×C₅₃	#518	1	2	yes	—
157	C₄×C₅₃	#540	1	2	yes	—
158	Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	Dic₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂×#493	—	53	1	no	—
162	#2328	—	53	1	no	—
163	#2328	—	53	1	no	—
164	#1961	—	53	1	no	—
165	#1961	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
166	#1879	—	53	4	no	—
167	#1879	—	53	4	no	—
168	#1835	—	53	1	no	—
169	#1746	—	53	1	no	—
170	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂×C₅₃	#2328	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#2948	1	2	yes	—
173	C₂×C₅₃	#3220	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	#3220	1	2	yes	—
175	D₅₃	—	8	4	no	—
176	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
177	C₂×#127	—	53	1	no	—
178	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
180	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
181	#493	—	53	8	no	—
182	C₂×#102	—	53	4	no	—
183	C₂×#102	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
184	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
186	#390	—	53	2	no	—
187	#390	—	53	2	no	—
188	#386	—	106	4	no	—
189	#386	—	106	4	no	—
190	#382	—	53	1	no	—
191	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#376	—	53	1	no	—
193	#340	—	53	4	no	—
194	#336	—	53	2	no	—
195	#336	—	53	2	no	—
196	C₅₃	#22276	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
199	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
200	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
202	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×D₈	—	53	16	no	—
204	C₂×D₈	—	212	4	no	—
205	C₂×D₈	—	212	4	no	—
206	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
207	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
208	#127	—	2	2	no	—
209	#127	—	53	4	no	—
210	#127	—	106	2	no	—
211	#127	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
212	C₄×D₄	—	212	4	no	—
213	C₄×D₄	—	212	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
222	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#102	—	4	4	no	—
224	#102	—	212	4	no	—
225	#97	—	2	2	no	—
226	C₄×C₈	—	53	4	no	—
227	#95	—	2	2	no	—
228	#95	—	53	4	no	—
229	#95	—	106	2	no	—
230	C₂⁴	—	2	2	no	—
231	C₂⁴	—	106	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	53	4	no	—
238	C₂×D₄	—	106	8	no	—
239	C₂×D₄	—	106	2	no	—
240	C₂×D₄	—	106	4	no	—
241	C₂×D₄	—	106	4	no	—
242	C₂×D₄	—	424	4	no	—
243	C₂×D₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
252	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	D₈	—	212	16	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	53	4	no	—
259	C₂×C₈	—	106	2	no	—
260	C₂×C₈	—	106	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
267	C₄²	—	106	2	no	—
268	C₄²	—	106	2	no	—
269	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
270	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	106	4	no	—
277	C₂³	—	212	4	no	—
278	C₂³	—	212	4	no	—
279	C₂³	—	212	2	no	—
280	C₂³	—	212	2	no	—
281	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	8	8	no	—
285	D₄	—	106	8	no	—
286	D₄	—	424	8	no	—
287	D₄	—	212	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂×C₄	—	424	8	no	—
296	C₂×C₄	—	424	8	no	—
297	C₂×C₄	—	212	4	no	—
298	C₂×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂×C₄	#13133177	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	106	4	no	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	8	4	no	—
309	C₂²	—	8	2	no	—
310	C₂²	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	424	2	no	—
312	C₂²	—	424	2	no	—
313	C₂²	—	424	4	no	—
314	C₂²	—	212	8	no	—
315	C₂²	—	212	4	no	—
316	C₂²	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#16811186	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#16811191	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#16811427	1	4	yes	—
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	8	2	no	—
322	C₄	—	424	2	no	—
323	C₄	—	212	2	no	—
324	C₄	—	212	2	no	—
325	C₄	#16811095	1	2	yes	—
326	C₄	#16811226	1	2	yes	—
327	C₂	—	8	4	no	—
328	C₂	—	424	4	no	—
329	C₂	#20277439	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#20283563	1	2	yes	—
331	C₂	#20285760	1	2	yes	—
332	C₂	#20285766	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1961	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#16810999	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1961	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22276
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1961

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277441	C₂	semidirect
3. #20277438	C₂	semidirect
4. #20275539	C₂	semidirect
5. #20275061	C₂	semidirect
6. #20275060	C₂	semidirect
7. #20274845	C₂	semidirect
8. #20274468	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1961	C₂	semidirect
14. #16810999	C₄	semidirect
36. C₂×#11719922	C₂×C₄	semidirect
39. #13133214	C₂×C₄	semidirect
50. C₄×#88322	C₂×C₄	semidirect
57. #127×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
165. #1961	D₅₃	semidirect
196. C₅₃	#22276	semidirect
211. #127	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810999	2
#20277441	2
#20277438	2
#20275539	2
#20275061	2
#20275060	2
#20274845	2
#20274468	2
C₅₃×#1961	2
#22276	53