Subgroups — #27399821

Order 13568.

1494 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810735	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20277545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275587	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275051	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274740	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#135×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
10	#16810735	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810530	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810503	—	2	4	no	—
18	#16810486	—	2	2	no	—
19	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
22	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#135×C₅₃	—	2	8	no	—
26	C₂×#135×C₅₃	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×SD₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	4	no	—
32	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
33	D₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
34	D₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
38	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	#13133149	—	2	4	no	—
41	#13133141	—	4	4	no	—
42	#13133138	—	2	8	no	—
43	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
44	#13133127	—	2	4	no	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	#13133124	—	2	4	no	—
47	#13133124	—	2	4	no	—
48	#13133124	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₂×#41×C₅₃	—	4	4	no	—
52	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#135×C₅₃	—	2	32	no	—
59	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×D₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	#41×C₅₃	—	2	16	no	—
72	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
73	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	8	4	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	Q₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
99	SD₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
100	D₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	8	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
126	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
127	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
128	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
129	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
132	D₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	8	16	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	#88322	—	4	2	no	—
155	#22438	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
174	Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	Dic₅₃	—	8	4	no	—
176	C₂²×#135	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×#442	—	53	2	no	—
178	#2339	—	53	2	no	—
179	#1971	—	53	2	no	—
180	#1877	—	53	4	no	—
181	#1807	—	53	1	no	—
182	#1788	—	53	2	no	—
183	#1752	—	53	1	no	—
184	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×C₅₃	—	4	8	no	—
186	C₂×C₅₃	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#2943	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2952	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#3267	1	4	yes	—
190	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×#135	—	2	8	no	—
192	C₂×#135	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
193	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×SD₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
198	#442	—	106	8	no	—
199	C₂×#106	—	53	2	no	—
200	C₂×#103	—	53	4	no	—
201	C₂×#102	—	53	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
203	C₂×#97	—	53	2	no	—
204	#391	—	53	4	no	—
205	#386	—	106	4	no	—
206	#381	—	106	2	no	—
207	#380	—	53	2	no	—
208	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
209	C₂×#95	—	106	2	no	—
210	#340	—	53	2	no	—
211	#336	—	53	2	no	—
212	C₅₃	#22438	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂×#41	—	2	4	no	—
214	C₂×#41	—	2	8	no	—
215	C₂×#41	—	4	4	no	—
216	C₂×#41	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	complemented
217	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#135	—	2	32	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₁₆	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	complemented
226	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
227	C₂×SD₁₆	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	complemented
228	C₂×D₈	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
229	C₂×D₈	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
230	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
232	C₂²×C₈	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	complemented
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₄×D₄	—	106	8	no	—
236	C₄×D₄	—	212	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
241	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
242	#106	—	106	4	no	—
243	#103	—	212	4	no	—
244	#102	—	106	8	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
246	#97	—	106	4	no	—
247	#95	—	53	2	no	—
248	#95	—	106	4	no	—
249	#95	—	106	4	no	—
250	#95	—	106	2	no	—
251	C₂⁴	—	2	2	no	—
252	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	2	16	no	—
254	#41	—	4	8	no	—
255	#41	—	4	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
260	C₂×D₄	—	2	8	no	—
261	C₂×D₄	—	2	2	no	—
262	C₂×D₄	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
265	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
276	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	Q₁₆	—	2	8	no	—
281	SD₁₆	—	2	16	no	—
282	D₈	C₂²⋊Dic₅₃	1	16	yes	complemented
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	106	2	no	—
288	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
296	C₄²	—	106	2	no	—
297	C₄²	—	106	2	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	4	no	—
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	4	4	no	—
311	D₄	—	2	8	no	—
312	D₄	—	2	4	no	—
313	D₄	—	4	16	no	—
314	D₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	—	106	4	no	—
324	C₂×C₄	—	106	4	no	—
325	C₂×C₄	—	424	16	no	—
326	C₂×C₄	—	212	4	no	—
327	C₂×C₄	—	212	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	212	2	no	—
336	C₈	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
348	C₂²	#16811420	1	2	yes	—
349	C₂²	#16811430	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	424	4	no	—
353	C₄	—	212	4	no	—
354	C₄	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811098	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#16811267	1	2	yes	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	4	8	no	—
359	C₂	D₄×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20283516	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20283599	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20286240	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂²×#135×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#135	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22438
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#135

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810735	C₂	semidirect
2. #20277545	C₂	semidirect
3. #20275587	C₂	semidirect
4. #20275051	C₂	semidirect
5. #20274740	C₂	semidirect
6. #20274655	C₂	semidirect
7. #20274491	C₂	semidirect
26. C₂×#135×C₅₃	C₄	semidirect
52. C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
66. C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
100. D₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
192. C₂×#135	Dic₅₃	semidirect
212. C₅₃	#22438	semidirect
216. C₂×#41	C₂×Dic₅₃	semidirect
225. C₂×Q₁₆	C₂×Dic₅₃	semidirect
227. C₂×SD₁₆	C₂×Dic₅₃	semidirect
232. C₂²×C₈	C₂×Dic₅₃	semidirect
282. D₈	C₂²⋊Dic₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810735	2
#20277545	2
#20275587	2
#20275051	2
#20274740	2
#20274655	2
#20274491	2
C₂²×#135×C₅₃	2
#22438	53