Subgroups — #27399822

Order 13568.

1494 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20277546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275586	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275048	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274740	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719945	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133239	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133239	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810736	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810529	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810499	—	2	4	no	—
22	#16810485	—	2	2	no	—
23	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
24	#95×D₅₃	—	2	2	no	—
25	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719945	—	2	8	no	—
33	C₂×#11719945	—	4	4	no	—
34	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
40	#13133239	—	2	32	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
43	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
44	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×D₄₂₄	D₄	1	8	yes	—
47	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
48	C₄×D₂₁₂	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
52	#13133149	—	2	4	no	—
53	#13133142	—	4	4	no	—
54	#13133139	—	2	8	no	—
55	#13133124	—	2	4	no	—
56	#13133124	—	2	4	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
68	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
69	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
82	#11719945	—	2	16	no	—
83	#11719945	—	4	8	no	—
84	#11719945	—	4	16	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	8	2	no	—
110	#11719921	—	4	8	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
114	D₄₂₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
115	#11719913	—	2	16	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
138	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	D₂₁₂	—	2	4	no	—
145	D₂₁₂	—	2	8	no	—
146	D₂₁₂	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
148	C₄×D₅₃	—	8	16	no	—
149	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	#22438	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
164	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
165	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
168	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
174	Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	Dic₅₃	—	8	4	no	—
176	C₂²×#135	—	53	1	no	—
177	C₂×#442	—	53	2	no	—
178	#2339	—	53	2	no	—
179	#1971	—	53	2	no	—
180	#1877	—	53	4	no	—
181	#1807	—	53	1	no	—
182	#1788	—	53	2	no	—
183	#1752	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
184	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×C₅₃	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#2943	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#2952	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3267	1	4	yes	—
189	D₅₃	—	4	8	no	—
190	C₂²×#41	—	53	2	no	—
191	C₂×#135	—	53	8	no	—
192	C₂×#135	—	106	8	no	—
193	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
194	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
195	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
196	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
198	#442	—	106	8	no	—
199	C₂×#106	—	53	2	no	—
200	C₂×#103	—	53	4	no	—
201	C₂×#102	—	53	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	#391	—	53	4	no	—
205	#386	—	106	4	no	—
206	#381	—	106	2	no	—
207	#380	—	53	2	no	—
208	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×#95	—	106	2	no	—
210	#340	—	53	2	no	—
211	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₅₃	#22438	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂×#41	—	53	8	no	—
214	C₂×#41	—	106	8	no	—
215	C₂×#41	—	106	4	no	—
216	C₂×#41	—	212	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
220	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#135	—	106	32	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
226	C₂×SD₁₆	—	53	8	no	—
227	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
228	C₂×D₈	—	53	4	no	—
229	C₂×D₈	—	53	8	no	—
230	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₄×D₄	—	106	8	no	—
236	C₄×D₄	—	212	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	#106	—	106	4	no	—
243	#103	—	212	4	no	—
244	#102	—	106	8	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
246	#97	—	2	4	no	—
247	#95	—	106	2	no	—
248	#95	—	106	4	no	—
249	#95	—	106	4	no	—
250	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
251	C₂⁴	—	106	2	no	—
252	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	106	16	no	—
254	#41	—	212	8	no	—
255	#41	—	212	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
260	C₂×D₄	—	53	4	no	—
261	C₂×D₄	—	53	8	no	—
262	C₂×D₄	—	106	8	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	106	4	no	—
265	C₂×D₄	—	212	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	Q₁₆	—	106	8	no	—
281	SD₁₆	—	106	16	no	—
282	D₈	—	53	16	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	106	4	no	—
302	C₂³	—	106	8	no	—
303	C₂³	—	212	4	no	—
304	C₂³	—	212	2	no	—
305	C₂³	—	212	2	no	—
306	C₂³	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	106	4	no	—
309	Q₈	—	106	4	no	—
310	Q₈	—	212	4	no	—
311	D₄	—	53	8	no	—
312	D₄	—	106	8	no	—
313	D₄	—	106	4	no	—
314	D₄	—	212	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	—	424	16	no	—
324	C₂×C₄	—	212	16	no	—
325	C₂×C₄	—	212	4	no	—
326	C₂×C₄	—	212	4	no	—
327	C₂×C₄	—	212	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	106	8	no	—
342	C₂²	—	212	8	no	—
343	C₂²	—	212	8	no	—
344	C₂²	—	212	4	no	—
345	C₂²	—	212	4	no	—
346	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
348	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
349	C₂²	#16811435	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	424	4	no	—
353	C₄	—	212	4	no	—
354	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#16811269	1	2	yes	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	212	8	no	—
359	C₂	C₂²⋊C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20283517	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20283600	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20286245	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1752	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#13133239	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1752	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22438
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ #1752

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810736	C₂	semidirect
3. #20277546	C₂	semidirect
4. #20275586	C₂	semidirect
5. #20275048	C₂	semidirect
6. #20274740	C₂	semidirect
7. #20274656	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1752	C₂	semidirect
11. C₂×#13133239	C₄	semidirect
34. C₂×#11719945	C₂×C₄	semidirect
42. C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
44. C₂×#11719913	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
114. D₄₂₄	C₂²⋊C₄	semidirect
183. #1752	D₅₃	semidirect
212. C₅₃	#22438	semidirect
231. C₂²×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133239	2
C₂×#16810736	2
#20277546	2
#20275586	2
#20275048	2
#20274740	2
#20274656	2
C₅₃×#1752	2
#22438	53