Subgroups — #27399963

Order 13568.

1450 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×Dic₂₁₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20277555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275069	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719945	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133239	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133239	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	4	yes	—
16	C₄×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810525	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810523	—	2	4	no	—
22	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810482	—	2	2	no	—
24	#16810470	—	2	2	no	—
25	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719945	—	2	8	no	—
33	C₂×#11719945	—	4	4	no	—
34	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
39	#13133239	—	2	32	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
43	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
47	C₄×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
52	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
54	#13133151	—	2	4	no	—
55	#13133142	—	2	8	no	—
56	#13133139	—	4	4	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
68	#95×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#95×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	#11719945	—	2	16	no	—
85	#11719945	—	4	8	no	—
86	#11719945	—	4	16	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	8	2	no	—
109	#11719921	—	4	8	no	—
110	#11719921	—	8	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	#11719919	—	4	8	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	4	8	no	—
115	Dic₂₁₂	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
116	D₄₂₄	—	2	8	no	—
117	#11719913	—	2	16	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	complemented
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
150	D₂₁₂	—	2	4	no	—
151	D₂₁₂	—	2	4	no	—
152	D₂₁₂	—	4	4	no	—
153	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
154	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
155	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
156	Dic₁₀₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
160	#22451	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
182	Dic₅₃	—	2	8	no	—
183	Dic₅₃	—	8	4	no	—
184	C₂²×#135	—	53	1	no	—
185	C₂×C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
186	#2341	—	53	2	no	—
187	#1970	—	53	2	no	—
188	#1880	—	53	4	no	—
189	#1808	—	53	1	no	—
190	#1788	—	53	2	no	—
191	C₈×C₂²⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
193	C₂×C₅₃	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#2951	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3285	1	2	yes	—
197	C₂×C₅₃	#3287	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	8	4	no	—
199	C₂²×#41	—	53	2	no	—
200	C₂×#135	—	53	8	no	—
201	C₂×#135	—	106	8	no	—
202	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
203	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
204	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
205	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
207	C₄×Q₁₆	—	106	8	no	—
208	C₂×#107	—	53	2	no	—
209	C₂×#103	—	53	4	no	—
210	C₂×#102	—	53	4	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
213	#390	—	53	4	no	—
214	#390	—	106	4	no	—
215	#380	—	53	2	no	—
216	#380	—	106	2	no	—
217	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
218	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#340	—	53	2	no	—
220	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₅₃	#22451	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂×#41	—	53	8	no	—
223	C₂×#41	—	106	8	no	—
224	C₂×#41	—	106	4	no	—
225	C₂×#41	—	212	4	no	—
226	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
229	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	#135	—	106	32	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
233	C₂×Q₁₆	—	53	8	no	—
234	C₂×SD₁₆	—	53	8	no	—
235	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
236	C₂×D₈	—	53	4	no	—
237	C₂×D₈	—	106	4	no	—
238	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
240	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
241	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
244	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
251	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
252	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
253	#107	—	106	4	no	—
254	#103	—	106	8	no	—
255	#102	—	212	4	no	—
256	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
257	C₄×C₈	—	2	4	no	—
258	#95	—	106	2	no	—
259	#95	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
260	#95	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
261	C₂⁴	—	106	2	no	—
262	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
263	#41	—	106	16	no	—
264	#41	—	212	8	no	—
265	#41	—	212	16	no	—
266	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
270	C₂×D₄	—	53	4	no	—
271	C₂×D₄	—	106	8	no	—
272	C₂×D₄	—	106	4	no	—
273	C₂×D₄	—	106	2	no	—
274	C₂×D₄	—	106	4	no	—
275	C₂×D₄	—	212	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	Q₁₆	—	53	16	no	—
289	SD₁₆	—	106	16	no	—
290	D₈	—	106	8	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	212	8	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	106	4	no	—
314	C₂³	—	212	4	no	—
315	C₂³	—	212	2	no	—
316	C₂³	—	212	2	no	—
317	C₂³	—	212	4	no	—
318	C₂³	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	53	8	no	—
321	Q₈	—	106	8	no	—
322	Q₈	—	106	4	no	—
323	D₄	—	106	4	no	—
324	D₄	—	106	4	no	—
325	D₄	—	212	16	no	—
326	D₄	—	212	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	4	no	—
337	C₂×C₄	—	106	8	no	—
338	C₂×C₄	—	212	16	no	—
339	C₂×C₄	—	212	4	no	—
340	C₂×C₄	—	212	4	no	—
341	C₂×C₄	—	212	4	no	—
342	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	complemented
344	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	424	4	no	—
357	C₂²	—	424	4	no	—
358	C₂²	—	212	4	no	—
359	C₂²	—	212	4	no	—
360	C₂²	—	212	4	no	—
361	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
364	C₂²	#16811428	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811440	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	106	8	no	—
370	C₄	—	424	4	no	—
371	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#16811269	1	2	yes	—
374	C₂	—	4	2	no	—
375	C₂	—	424	4	no	—
376	C₂	C₂²⋊C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₄×#13133239	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20283592	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20286458	1	2	yes	—
380	C₂	#20286475	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#13133239	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₈×C₂²⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22451
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
3. #20277555	C₂	semidirect
4. #20275581	C₂	semidirect
5. #20275069	C₂	semidirect
6. #20274744	C₂	semidirect
7. #20274656	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂	semidirect
11. C₂×#13133239	C₄	semidirect
115. Dic₂₁₂	C₂²⋊C₄	semidirect
139. C₂×C₄×C₅₃	#135	semidirect
191. C₈×C₂²⋊C₄	D₅₃	semidirect
221. C₅₃	#22451	semidirect
343. C₂×C₄	#13133239	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133239	2
C₂×C₄×Dic₂₁₂	2
#20277555	2
#20275581	2
#20275069	2
#20274744	2
#20274656	2
C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	2
#22451	53