Subgroups — Q₈×#13133134 #27400654

Order 13568.

1198 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#11719917	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20275705	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
3	#20274707	C₂	1	3	yes	maximal
4	C₄×#13133134	C₂	1	3	yes	maximal
5	C₂×D₄×Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#16810754	—	2	6	no	—
7	Q₈×#88322	—	2	2	no	—
8	#16810647	C₂²	1	6	yes	—
9	C₂×#13133134	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂×#13133134	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₄×#11719917	C₂²	1	6	yes	—
12	#16810392	C₂²	1	6	yes	—
13	#16810392	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂³×Q₈×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
15	D₄×Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
16	D₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	C₄	1	6	yes	—
19	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#11719917	C₂³	1	6	yes	—
22	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
23	C₄⋊#88322	—	2	6	no	—
24	C₄⋊#88322	—	2	6	no	—
25	#13133134	—	2	6	no	—
26	#13133134	Q₈	1	4	yes	direct product factor
27	#13133128	—	2	6	no	—
28	C₄×#88322	—	2	6	no	—
29	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
30	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂²×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
32	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	6	yes	—
34	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	6	yes	—
36	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
37	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
38	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	12	no	—
39	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	12	no	—
40	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
41	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
42	C₄×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
43	C₄×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	6	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	6	yes	—
48	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
49	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
52	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
53	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	12	no	—
54	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	24	no	—
55	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
56	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
57	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×D₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
61	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	6	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
70	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
71	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
72	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
73	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
74	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
75	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
76	#11719917	—	2	2	no	—
77	#11719917	—	2	6	no	—
78	#11719917	—	2	6	no	—
79	#11719917	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
80	C₂×#88322	—	2	2	no	—
81	C₂×#88322	—	2	6	no	—
82	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
87	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
88	Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
89	Q₈×C₅₃	—	4	12	no	—
90	Q₈×C₅₃	—	4	12	no	—
91	Q₈×C₅₃	#100	1	4	yes	complemented
92	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
95	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
96	C₂×C₄×C₅₃	—	4	3	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	4	6	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
101	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
102	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
107	#88322	—	2	4	no	—
108	#88322	—	4	6	no	—
109	Q₈×#100	—	53	1	no	maximal, Sylow
110	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
120	C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
121	C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
122	C₄×C₅₃	—	4	6	no	—
123	C₄×C₅₃	C₂×#100	1	6	yes	—
124	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
125	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×D₄×Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
127	Q₈×M₁₆	—	53	2	no	—
128	#1997	—	53	6	no	—
129	#1800	—	53	3	no	—
130	C₄×#100	—	53	3	no	—
131	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×C₅₃	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₅₃	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₅₃	#2889	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×Q₈	Dic₅₃	1	2	yes	—
138	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	D₄×Q₈	—	2	6	no	—
140	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
141	C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₅₃	1	6	yes	—
142	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
144	#446	—	106	6	no	—
145	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
146	#423	—	53	6	no	—
147	C₂×#100	—	53	1	no	—
148	C₂×#100	—	53	3	no	—
149	C₄×M₁₆	—	53	6	no	—
150	#343	—	53	6	no	—
151	#343	—	53	6	no	—
152	C₅₃	Q₈×#100	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
153	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
154	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	6	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
159	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	6	yes	—
160	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	53	6	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
166	C₄×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
168	C₄×D₄	—	2	6	no	—
169	C₄×D₄	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	6	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	3	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	6	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
175	C₄⋊C₈	—	106	6	no	—
176	C₄⋊C₈	—	106	6	no	—
177	#100	—	53	4	no	—
178	#100	—	106	6	no	—
179	#97	—	106	6	no	—
180	C₄×C₈	—	106	6	no	—
181	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
188	C₂×Q₈	C₂²⋊Dic₅₃	1	3	yes	—
189	C₂×Q₈	C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂×D₄	#11719949	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
197	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	3	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	6	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	3	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	M₁₆	—	53	4	no	—
202	M₁₆	—	106	2	no	—
203	M₁₆	—	106	6	no	—
204	M₁₆	—	106	6	no	—
205	C₂×C₈	—	106	2	no	—
206	C₂×C₈	—	106	6	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₄⋊C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	6	yes	—
210	C₄⋊C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	6	yes	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
212	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
213	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	Q₈×Dic₅₃	1	4	yes	—
219	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
220	Q₈	—	2	6	no	—
221	Q₈	—	4	12	no	—
222	Q₈	—	4	12	no	—
223	Q₈	#13133134	1	4	yes	direct product factor
224	D₄	—	2	4	no	—
225	D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂×C₄	—	2	6	no	—
228	C₂×C₄	—	4	3	no	—
229	C₂×C₄	—	4	12	no	—
230	C₂×C₄	—	4	12	no	—
231	C₂×C₄	—	4	6	no	—
232	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	6	yes	—
233	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	3	yes	—
234	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	3	yes	—
235	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
239	C₈	—	106	4	no	—
240	C₈	—	212	6	no	—
241	C₂²	—	2	1	no	—
242	C₂²	—	2	1	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	4	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×Q₈×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#16811101	1	1	yes	characteristic
251	C₄	—	2	3	no	—
252	C₄	—	2	6	no	—
253	C₄	—	4	6	no	—
254	C₄	C₂×#13133134	1	6	yes	—
255	C₄	#16811284	1	2	yes	—
256	C₄	Q₈×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂	—	2	1	no	—
258	C₂	—	2	1	no	—
259	C₂	—	4	4	no	—
260	C₂	Q₈×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂	C₂²×#13133134	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#20283198	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×D₄×Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×D₄×Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	Q₈×#100
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ C₂×D₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. Q₈×#11719917	C₂	semidirect
2. #20275705	C₂	semidirect
26. #13133134	Q₈	direct (N × H)
79. #11719917	C₂×Q₈	semidirect
91. Q₈×C₅₃	#100	semidirect
152. C₅₃	Q₈×#100	semidirect
223. Q₈	#13133134	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#11719917	2
#20275705	2
#20274707	2
C₄×#13133134	2
C₂×D₄×Q₈×C₅₃	2
Q₈×#100	53

Subgroups — Q8×#13133134 #27400654

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — Q₈×#13133134 #27400654