Subgroups — #27400663

Order 13568.

970 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283666	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275703	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275702	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20274709	C₂	1	2	yes	maximal
6	#101×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#13133136	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₅₃×#1801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
11	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133217	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133216	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#13133216	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810752	—	2	4	no	—
20	#16810750	—	2	2	no	—
21	#16810747	—	2	2	no	—
22	#16810646	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#13133136	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#13133136	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
26	M₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
29	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#101×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
39	#13133217	—	2	2	no	—
40	#13133217	—	2	2	no	—
41	#13133217	—	2	4	no	—
42	#13133217	—	2	4	no	—
43	#13133216	—	2	8	no	—
44	#13133216	—	2	8	no	—
45	#13133216	—	2	4	no	—
46	#13133216	—	2	4	no	—
47	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
48	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
50	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
51	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
52	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	4	yes	—
53	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
54	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	#13133146	—	2	4	no	—
64	#13133146	—	2	4	no	—
65	#13133136	—	2	2	no	—
66	#13133136	Q₈	1	4	yes	complemented
67	#13133128	—	2	2	no	—
68	#13133127	—	2	4	no	—
69	C₄×#88322	—	2	2	no	—
70	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
73	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#101×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
102	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
103	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₄⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	#11719919	—	2	4	no	—
118	#11719919	—	2	4	no	—
119	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
123	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	#11719917	—	2	2	no	—
126	#11719917	—	2	2	no	—
127	#11719917	—	2	2	no	—
128	#11719917	C₂×Q₈	1	4	yes	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	C₂×#88322	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
132	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
156	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
157	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
158	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
159	Dic₁₀₆	#101	1	4	yes	complemented
160	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
161	#88322	—	2	4	no	—
162	#88322	—	4	2	no	—
163	Q₈×#101	—	53	1	no	maximal, Sylow
164	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
173	C₄×C₅₃	C₂×#101	1	2	yes	—
174	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
175	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
176	Dic₅₃	—	2	2	no	—
177	Dic₅₃	—	2	4	no	—
178	Dic₅₃	—	4	4	no	—
179	Dic₅₃	C₂×#101	1	4	yes	—
180	C₂×Q₈²	—	53	1	no	—
181	Q₈×M₁₆	—	53	2	no	—
182	#1997	—	53	2	no	—
183	#1997	—	53	4	no	—
184	#1801	—	53	2	no	—
185	#1801	D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₄×#101	—	53	2	no	—
187	C₄×#101	—	53	1	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
190	C₂×C₅₃	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#2888	1	1	yes	characteristic
193	Q₈²	—	106	2	no	—
194	Q₈²	—	106	2	no	—
195	Q₈²	—	106	4	no	—
196	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
197	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
201	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#446	—	106	4	no	—
205	#446	—	106	2	no	—
206	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
207	#423	—	53	4	no	—
208	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂×#101	—	53	1	no	—
210	C₂×#101	—	53	1	no	—
211	C₂×#101	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₄×M₁₆	—	53	4	no	—
213	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
214	#343	—	53	4	no	—
215	#343	—	53	4	no	—
216	#343	—	53	2	no	—
217	#343	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₅₃	Q₈×#101	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
219	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
220	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
221	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
222	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
224	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
225	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
227	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
228	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
229	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
230	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
231	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
232	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
234	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
237	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
238	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
239	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
240	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
241	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
242	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
243	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
253	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
254	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
259	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
260	#101	—	2	4	no	—
261	#101	—	53	4	no	—
262	#101	—	106	2	no	—
263	#97	—	106	4	no	—
264	#97	—	106	2	no	—
265	C₄×C₈	—	106	4	no	—
266	C₄×C₈	—	106	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
270	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
276	C₂×Q₈	—	424	4	no	—
277	C₂×Q₈	#11719947	1	2	yes	—
278	C₂×Q₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	2	4	no	—
288	M₁₆	—	2	4	no	—
289	M₁₆	—	53	4	no	—
290	M₁₆	—	106	2	no	—
291	M₁₆	—	106	2	no	—
292	M₁₆	—	106	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	106	2	no	—
295	C₂×C₈	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	53	4	no	—
311	C₄²	—	53	4	no	—
312	C₄²	—	106	4	no	—
313	C₄²	—	106	4	no	—
314	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	4	no	—
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	53	4	no	—
320	Q₈	—	106	4	no	—
321	Q₈	—	106	2	no	—
322	Q₈	—	424	4	no	—
323	Q₈	—	424	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	53	2	no	—
331	C₂×C₄	—	53	2	no	—
332	C₂×C₄	—	53	4	no	—
333	C₂×C₄	—	106	4	no	—
334	C₂×C₄	—	106	4	no	—
335	C₂×C₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#13133182	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
345	C₈	—	4	4	no	—
346	C₈	—	106	4	no	—
347	C₈	—	212	2	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#16811100	1	1	yes	characteristic
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	53	4	no	—
358	C₄	—	106	2	no	—
359	C₄	—	106	4	no	—
360	C₄	—	212	4	no	—
361	C₄	#101×D₅₃	1	2	yes	—
362	C₄	#16811279	1	2	yes	—
363	C₄	#16811286	1	2	yes	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	#20277547	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#101×D₅₃	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#20283192	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1801	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1801	D₅₃
hypocenter	C₅₃	Q₈×#101
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1801

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
66. #13133136	Q₈	semidirect
159. Dic₁₀₆	#101	semidirect
218. C₅₃	Q₈×#101	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Dic₁₀₆	2
#20283666	2
#20275703	2
#20275702	2
#20274709	2
#101×Dic₅₃	2
C₄×#13133136	2
C₅₃×#1801	2
Q₈×#101	53