Subgroups — #27400858

Order 13568.

1002 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	M₁₆×Dic₁₀₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275561	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20275559	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274710	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274510	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#100×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16811343	—	2	2	no	—
10	#16811343	—	2	2	no	—
11	#16811343	—	2	4	no	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133210	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#13133204	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133196	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133182	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133176	C₄	1	2	yes	—
19	#16810753	—	2	2	no	—
20	#16810751	—	2	4	no	—
21	C₈×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
22	#16810647	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810646	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#13133134	C₂²	1	2	yes	—
27	M₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#100×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₅₃×#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
37	#13133217	—	2	2	no	—
38	#13133217	—	2	2	no	—
39	#13133210	—	2	8	no	—
40	#13133210	—	2	8	no	—
41	#13133204	—	2	4	no	—
42	#13133204	—	2	4	no	—
43	#13133196	—	2	4	no	—
44	#13133196	—	2	4	no	—
45	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
46	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
47	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	4	yes	—
48	#13133182	—	2	4	no	—
49	#13133182	—	2	4	no	—
50	#13133176	—	2	4	no	—
51	#13133176	—	2	2	no	—
52	#13133176	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
63	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
64	#13133146	—	2	4	no	—
65	#13133146	—	2	4	no	—
66	#13133135	—	2	8	no	—
67	#13133135	—	4	4	no	—
68	#13133134	—	4	2	no	—
69	#13133127	—	2	4	no	—
70	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#100×C₅₃	—	2	4	no	—
81	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
106	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
107	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
108	M₁₆×C₅₃	#41	1	4	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₄⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	#11719919	—	2	8	no	—
125	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	#11719919	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	#11719917	—	2	4	no	—
132	#11719917	—	2	4	no	—
133	C₂×#88322	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
140	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
164	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
165	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
166	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
167	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
169	#88322	—	4	4	no	—
170	#22537	—	53	1	no	maximal, Sylow
171	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
184	C₄×C₅₃	#413	1	2	yes	—
185	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
186	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
187	Dic₅₃	—	2	4	no	—
188	Dic₅₃	—	2	2	no	—
189	Dic₅₃	—	2	2	no	—
190	Dic₅₃	—	4	4	no	—
191	C₂×#556	—	53	1	no	—
192	Q₈×M₁₆	—	53	2	no	—
193	#1967	—	53	4	no	—
194	#1966	—	53	2	no	—
195	#1801	—	53	2	no	—
196	#1800	—	53	1	no	—
197	C₄×#101	—	53	2	no	—
198	C₄×#100	D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
200	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
201	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
202	C₂×C₅₃	#2341	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#2889	1	1	yes	characteristic
205	#556	—	106	2	no	—
206	#556	—	106	2	no	—
207	#556	—	106	4	no	—
208	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
209	C₂×#126	—	53	4	no	—
210	C₂×#124	—	53	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
212	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×#117	—	53	2	no	—
216	#446	—	106	2	no	—
217	#446	—	106	4	no	—
218	C₈×Q₈	—	106	2	no	—
219	#423	—	53	4	no	—
220	#423	—	53	2	no	—
221	C₂×#101	—	53	4	no	—
222	C₂×#101	—	53	4	no	—
223	C₂×#100	—	53	2	no	—
224	C₂×#100	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₄×M₁₆	—	53	4	no	—
226	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#343	—	53	2	no	—
228	#343	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	#343	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₅₃	#22537	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
231	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
232	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
233	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
235	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
236	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
237	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
239	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
240	#126	—	106	8	no	—
241	#126	—	106	8	no	—
242	#124	—	106	4	no	—
243	#124	—	106	4	no	—
244	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
245	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
246	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
247	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
248	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
249	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
250	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
251	C₄×D₄	—	2	2	no	—
252	C₄×D₄	—	2	2	no	—
253	#117	—	106	4	no	—
254	#117	—	106	2	no	—
255	#117	—	106	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
263	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
264	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
266	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
267	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
270	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
271	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
272	#101	—	106	8	no	—
273	#101	—	212	4	no	—
274	#100	—	2	4	no	—
275	#100	—	212	2	no	—
276	#97	—	2	2	no	—
277	#97	—	106	4	no	—
278	C₄×C₈	—	2	2	no	—
279	C₄×C₈	—	106	4	no	—
280	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
282	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
287	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
288	C₂×D₄	—	2	2	no	—
289	C₂×D₄	—	2	2	no	—
290	C₂×D₄	—	2	1	no	—
291	C₂×D₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
298	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	M₁₆	—	2	2	no	—
303	M₁₆	—	2	2	no	—
304	M₁₆	—	2	2	no	—
305	M₁₆	—	106	4	no	—
306	M₁₆	—	106	4	no	—
307	M₁₆	#11719945	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	106	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
314	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
315	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
325	C₄²	—	53	4	no	—
326	C₄²	—	53	4	no	—
327	C₄²	—	106	4	no	—
328	C₄²	—	106	4	no	—
329	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
330	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	Q₈	—	106	4	no	—
338	Q₈	—	212	2	no	—
339	Q₈	—	212	4	no	—
340	Q₈	—	212	4	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	53	2	no	—
350	C₂×C₄	—	53	2	no	—
351	C₂×C₄	—	53	4	no	—
352	C₂×C₄	—	106	4	no	—
353	C₂×C₄	—	106	4	no	—
354	C₂×C₄	—	106	4	no	—
355	C₂×C₄	—	212	2	no	—
356	C₂×C₄	—	212	2	no	—
357	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	2	4	no	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	212	4	no	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₄×#11719945	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#16811103	1	1	yes	characteristic
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	106	4	no	—
381	C₄	—	106	2	no	—
382	C₄	—	106	2	no	—
383	C₄	—	212	4	no	—
384	C₄	#16810604	1	2	yes	—
385	C₄	#16811282	1	2	yes	—
386	C₄	#16811294	1	2	yes	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	8	2	no	—
390	C₂	#20277555	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×#16810604	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20283196	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#100×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#100	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22537
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#100

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. M₁₆×Dic₁₀₆	C₂	semidirect
4. #20275559	C₂	semidirect
5. #20274710	C₂	semidirect
7. #20274510	C₂	semidirect
230. C₅₃	#22537	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811343	2
M₁₆×Dic₁₀₆	2
#20275561	2
#20275559	2
#20274710	2
#20274707	2
#20274510	2
C₄×#100×C₅₃	2
#22537	53