Subgroups — #27402373

Order 13568.

1122 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810736	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄⋊C₄×D₂₁₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275453	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274979	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274872	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274716	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
13	#16810736	—	2	8	no	—
14	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810521	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810497	—	2	4	no	—
22	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810480	—	2	2	no	—
24	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
33	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×D₄₂₄	D₄	1	4	yes	—
35	C₂×D₄₂₄	Q₈	1	4	yes	—
36	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
37	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	4	4	no	—
39	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
45	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
46	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
48	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
49	#13133149	—	2	4	no	—
50	#13133149	—	4	2	no	—
51	#13133139	—	2	8	no	—
52	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	#13133124	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
61	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
74	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
76	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
97	#11719921	—	2	8	no	—
98	#11719921	—	4	8	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	8	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	#11719919	—	4	8	no	—
106	D₄₂₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
107	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
134	D₂₁₂	—	2	4	no	—
135	D₂₁₂	—	2	4	no	—
136	D₂₁₂	—	2	4	no	—
137	D₂₁₂	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
138	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
139	C₄×D₅₃	—	8	16	no	—
140	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
143	#22670	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
148	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
149	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
158	C₄×C₅₃	#442	1	4	yes	complemented
159	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
163	Dic₅₃	—	4	4	no	—
164	Dic₅₃	—	8	4	no	—
165	C₂×#442	—	53	2	no	—
166	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
167	D₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
168	#1943	—	53	2	no	—
169	#1864	—	53	4	no	—
170	#1844	—	53	1	no	—
171	#1802	—	53	2	no	—
172	#1770	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
173	C₂×C₅₃	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#2952	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	#3272	1	2	yes	—
177	C₂×C₅₃	#3384	1	2	yes	—
178	D₅₃	—	4	8	no	—
179	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
180	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
181	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
183	#442	—	106	8	no	—
184	C₄×D₈	—	53	8	no	—
185	C₂×#107	—	53	1	no	—
186	C₂×#106	—	53	2	no	—
187	C₂×#106	—	53	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂×#102	—	53	2	no	—
190	C₂×#102	—	53	4	no	—
191	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	#389	—	53	4	no	—
194	#385	—	106	4	no	—
195	#384	—	53	2	no	—
196	#380	—	106	2	no	—
197	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	#340	—	53	4	no	—
199	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	C₅₃	#22670	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
201	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
202	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
203	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
204	C₂×D₈	—	53	4	no	—
205	C₂×D₈	—	53	4	no	—
206	C₂×D₈	—	53	4	no	—
207	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₄×D₄	—	53	8	no	—
211	C₄×D₄	—	106	8	no	—
212	C₄×D₄	—	106	4	no	—
213	C₄×D₄	—	212	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#107	—	53	4	no	—
226	#106	—	106	4	no	—
227	#106	—	212	2	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
229	#102	—	53	8	no	—
230	#102	—	106	8	no	—
231	#97	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
233	#95	—	106	4	no	—
234	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
235	C₂⁴	—	106	2	no	—
236	C₂×D₄	—	53	4	no	—
237	C₂×D₄	—	53	4	no	—
238	C₂×D₄	—	53	4	no	—
239	C₂×D₄	—	106	2	no	—
240	C₂×D₄	—	106	2	no	—
241	C₂×D₄	—	106	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	D₈	—	53	16	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
278	C₂³	—	106	4	no	—
279	C₂³	—	106	4	no	—
280	C₂³	—	106	4	no	—
281	C₂³	—	212	2	no	—
282	C₂³	—	212	2	no	—
283	C₂³	—	212	2	no	—
284	C₂³	—	212	2	no	—
285	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
286	D₄	—	53	8	no	—
287	D₄	—	106	4	no	—
288	D₄	—	106	4	no	—
289	D₄	—	106	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	106	4	no	—
295	C₂×C₄	—	424	16	no	—
296	C₂×C₄	—	212	4	no	—
297	C₂×C₄	—	212	4	no	—
298	C₂×C₄	—	212	4	no	—
299	C₂×C₄	—	212	2	no	—
300	C₂×C₄	—	212	2	no	—
301	C₂×C₄	—	212	16	no	—
302	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	4	2	no	—
313	C₈	C₄⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
314	C₂²	—	106	8	no	—
315	C₂²	—	212	4	no	—
316	C₂²	—	212	4	no	—
317	C₂²	—	212	4	no	—
318	C₂²	—	212	4	no	—
319	C₂²	—	212	4	no	—
320	C₂²	—	212	4	no	—
321	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	Q₈×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
325	C₂²	#16811435	1	2	yes	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₄	—	424	4	no	—
329	C₄	—	212	4	no	—
330	C₄	#16810736	1	4	yes	complemented
331	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#16811103	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#16811278	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#16811333	1	1	yes	characteristic
335	C₂	—	212	8	no	—
336	C₂	C₄⋊C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#16810736	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#20283600	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#20286317	1	2	yes	—
340	C₂	#20287616	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1770	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1770	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22670
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ #1770

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₄⋊C₄×D₂₁₂	C₂	semidirect
4. #20275453	C₂	semidirect
5. #20274979	C₂	semidirect
6. #20274872	C₂	semidirect
7. #20274716	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1770	C₂	semidirect
14. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
39. C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
48. #13133151	C₂×C₄	semidirect
52. #13133139	C₂×C₄	semidirect
62. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
106. D₄₂₄	C₄⋊C₄	semidirect
137. D₂₁₂	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
142. C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
158. C₄×C₅₃	#442	semidirect
172. #1770	D₅₃	semidirect
200. C₅₃	#22670	semidirect
232. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect
313. C₈	C₄⋊C₄×D₅₃	semidirect
330. C₄	#16810736	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810736	2
C₂×C₄×D₄₂₄	2
C₄⋊C₄×D₂₁₂	2
#20275453	2
#20274979	2
#20274872	2
#20274716	2
C₅₃×#1770	2
#22670	53