Subgroups — #27402417

Order 13568.

898 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20277634	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274970	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274968	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274876	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20274729	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20274583	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#1943	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133182	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133182	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810731	—	2	4	no	—
17	#16810729	—	2	4	no	—
18	#16810717	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133127	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810522	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810520	—	2	2	no	—
29	#16810518	—	2	2	no	—
30	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810487	—	2	2	no	—
32	C₄⋊C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₄×#11719919	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810377	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
41	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×Dic₂₁₂	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
49	C₄×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
50	#13133182	—	2	4	no	—
51	#13133182	—	2	4	no	—
52	#13133182	—	4	2	no	—
53	#13133182	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
58	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
59	C₂×#11719919	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#13133150	—	4	2	no	—
66	#13133149	—	2	2	no	—
67	#13133146	—	2	2	no	—
68	#13133142	—	2	4	no	—
69	#13133140	—	2	4	no	—
70	#13133140	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	#13133127	—	2	2	no	—
72	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#13133124	—	2	2	no	—
74	#13133124	—	2	2	no	—
75	#13133124	—	2	2	no	—
76	#13133124	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
85	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
86	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
118	#11719919	—	2	8	no	—
119	#11719919	—	4	2	no	—
120	#11719919	—	4	4	no	—
121	#11719919	—	4	4	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
123	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
124	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
125	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
126	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
127	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
129	C₂×#88322	—	2	1	no	—
130	C₂×#88322	—	2	1	no	—
131	C₂×#88322	—	2	1	no	—
132	C₂×#88322	—	2	1	no	—
133	C₂×#88322	—	2	1	no	—
134	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	Dic₂₁₂	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
136	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
166	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
167	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
168	Dic₁₀₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
170	C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
171	#88322	—	2	2	no	—
172	#88322	—	4	1	no	—
173	#22675	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₅₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
178	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
179	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
181	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
182	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
186	Dic₅₃	—	2	8	no	—
187	Dic₅₃	—	2	2	no	—
188	Dic₅₃	—	2	2	no	—
189	Dic₅₃	—	4	2	no	—
190	Dic₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×#441	—	53	1	no	—
192	C₂×#441	—	53	1	no	—
193	C₂×C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
194	#2351	—	53	2	no	—
195	#1943	—	53	1	no	—
196	#1943	D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	#1863	—	53	2	no	—
198	#1863	—	53	2	no	—
199	#1846	—	53	1	no	—
200	#1805	—	53	2	no	—
201	#1770	—	53	1	no	—
202	C₂×C₅₃	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	#2943	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#2950	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₅₃	#3277	1	2	yes	—
206	C₂×C₅₃	#3390	1	2	yes	—
207	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
211	#441	—	106	4	no	—
212	#441	—	106	4	no	—
213	C₄×Q₁₆	—	53	8	no	—
214	C₂×#107	—	53	2	no	—
215	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×#106	—	53	1	no	—
217	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
219	C₂×#103	—	53	2	no	—
220	C₂×#103	—	53	2	no	—
221	C₂×#103	—	53	2	no	—
222	C₂×#97	—	53	1	no	—
223	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
225	#389	—	53	2	no	—
226	#389	—	106	2	no	—
227	#389	—	106	2	no	—
228	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
229	#382	—	53	2	no	—
230	#382	—	106	2	no	—
231	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
232	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
233	#340	—	53	2	no	—
234	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
235	#336	—	53	1	no	—
236	#336	—	53	1	no	—
237	C₅₃	#22675	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
238	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
239	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
240	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
241	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
242	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
243	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
247	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
248	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
249	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
250	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
251	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
255	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
262	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
263	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
264	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
265	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
266	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	#107	—	212	2	no	—
268	#107	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
269	#106	—	2	2	no	—
270	#106	—	106	2	no	—
271	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
272	#103	—	53	8	no	—
273	#103	—	106	4	no	—
274	#103	—	106	4	no	—
275	#97	—	2	2	no	—
276	#97	—	106	2	no	—
277	C₄×C₈	—	53	4	no	—
278	#95	—	2	2	no	—
279	#95	—	53	2	no	—
280	#95	—	106	2	no	—
281	#95	—	106	2	no	—
282	#95	—	106	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
285	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
293	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
296	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	Q₁₆	—	53	16	no	—
299	C₂×C₈	—	2	1	no	—
300	C₂×C₈	—	2	1	no	—
301	C₂×C₈	—	2	1	no	—
302	C₂×C₈	—	53	2	no	—
303	C₂×C₈	—	106	1	no	—
304	C₂×C₈	—	106	1	no	—
305	C₂×C₈	—	106	1	no	—
306	C₂×C₈	—	106	1	no	—
307	C₂×C₈	—	106	1	no	—
308	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
322	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
323	C₄²	—	2	1	no	—
324	C₄²	—	2	1	no	—
325	C₄²	—	53	2	no	—
326	C₄²	—	53	2	no	—
327	C₄²	—	106	8	no	—
328	C₄²	—	106	1	no	—
329	C₄²	—	106	1	no	—
330	C₄²	—	212	4	no	—
331	C₄²	—	212	4	no	—
332	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	53	8	no	—
334	Q₈	—	106	4	no	—
335	Q₈	—	106	4	no	—
336	Q₈	—	106	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	53	2	no	—
347	C₂×C₄	—	53	2	no	—
348	C₂×C₄	—	106	4	no	—
349	C₂×C₄	—	106	4	no	—
350	C₂×C₄	—	106	2	no	—
351	C₂×C₄	—	106	2	no	—
352	C₂×C₄	—	106	4	no	—
353	C₂×C₄	—	106	2	no	—
354	C₂×C₄	—	106	2	no	—
355	C₂×C₄	—	106	2	no	—
356	C₂×C₄	—	212	2	no	—
357	C₂×C₄	—	212	2	no	—
358	C₂×C₄	—	212	2	no	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#13133265	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	4	1	no	—
366	C₈	—	106	2	no	—
367	C₈	—	212	1	no	—
368	C₈	C₄⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
369	C₂²	C₄×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#16811257	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#16811288	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#16811419	1	2	yes	—
373	C₂²	#16811439	1	2	yes	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	106	8	no	—
378	C₄	—	106	2	no	—
379	C₄	—	106	2	no	—
380	C₄	—	424	2	no	—
381	C₄	—	212	2	no	—
382	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#16811105	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#16811275	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#16811329	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20277616	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20283512	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#20283580	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#20286369	1	2	yes	—
390	C₂	#20287679	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1943	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1943	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22675
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1943

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. #16810717	C₄	semidirect
135. Dic₂₁₂	C₄⋊C₄	semidirect
237. C₅₃	#22675	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810731	2
C₂×#16810729	2
C₂×#16810717	2
#20277634	2
#20275454	2
#20274970	2
#20274968	2
#20274876	2
#20274729	2
#20274583	2
C₅₃×#1943	2
#22675	53