Subgroups — #27402506

Order 13568.

1062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274979	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274726	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×D₄₂₄	—	2	8	no	—
13	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810521	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810494	—	2	4	no	—
21	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810482	—	2	2	no	—
23	#95×D₅₃	—	2	2	no	—
24	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
33	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×D₄₂₄	D₄	1	4	yes	—
35	C₂×D₄₂₄	Q₈	1	4	yes	—
36	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
37	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	4	4	no	—
39	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
43	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
45	#13133151	—	2	4	no	—
46	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
47	#13133149	—	4	2	no	—
48	#13133139	—	2	8	no	—
49	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	#13133124	—	2	4	no	—
51	#13133124	—	2	2	no	—
52	#13133124	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#95×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
63	#95×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
75	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
97	#11719921	—	2	8	no	—
98	#11719921	—	4	8	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	#11719919	—	8	4	no	—
104	D₄₂₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
105	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	D₂₁₂	—	2	4	no	—
133	D₂₁₂	—	2	4	no	—
134	D₂₁₂	—	2	4	no	—
135	D₂₁₂	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
136	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
137	C₄×D₅₃	—	8	16	no	—
138	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	#22682	—	53	1	no	maximal, Sylow
142	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
146	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
147	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
160	Dic₅₃	—	4	4	no	—
161	Dic₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
163	C₂×C₄×D₈	—	53	2	no	—
164	#2349	—	53	2	no	—
165	#1942	—	53	2	no	—
166	#1864	—	53	4	no	—
167	#1846	—	53	1	no	—
168	#1804	—	53	2	no	—
169	C₈×C₄⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
170	C₂×C₅₃	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₅₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#3280	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	#3380	1	2	yes	—
175	D₅₃	—	4	8	no	—
176	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
177	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
178	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
179	C₄×D₈	—	53	8	no	—
180	C₄×D₈	—	106	8	no	—
181	C₂×#107	—	53	1	no	—
182	C₂×#107	—	53	2	no	—
183	C₂×#106	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×#102	—	53	2	no	—
186	C₂×#102	—	53	4	no	—
187	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#389	—	53	4	no	—
190	#385	—	106	4	no	—
191	#382	—	53	2	no	—
192	#380	—	106	2	no	—
193	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂×#95	—	106	2	no	—
195	#340	—	53	4	no	—
196	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₅₃	#22682	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
198	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
199	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
200	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
201	C₂×D₈	—	53	4	no	—
202	C₂×D₈	—	53	4	no	—
203	C₂×D₈	—	53	4	no	—
204	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₄×D₄	—	53	8	no	—
208	C₄×D₄	—	106	8	no	—
209	C₄×D₄	—	106	4	no	—
210	C₄×D₄	—	212	4	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
217	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#107	—	53	4	no	—
220	#107	—	106	4	no	—
221	#106	—	212	2	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
223	#102	—	53	8	no	—
224	#102	—	106	8	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
227	#95	—	106	2	no	—
228	#95	—	106	4	no	—
229	#95	—	106	2	no	—
230	#95	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
231	#95	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
232	C₂⁴	—	106	2	no	—
233	C₂×D₄	—	53	4	no	—
234	C₂×D₄	—	53	4	no	—
235	C₂×D₄	—	53	4	no	—
236	C₂×D₄	—	106	2	no	—
237	C₂×D₄	—	106	2	no	—
238	C₂×D₄	—	106	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	D₈	—	53	16	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	424	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
273	C₂³	—	106	4	no	—
274	C₂³	—	106	4	no	—
275	C₂³	—	106	4	no	—
276	C₂³	—	212	4	no	—
277	C₂³	—	212	4	no	—
278	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
279	D₄	—	53	8	no	—
280	D₄	—	106	4	no	—
281	D₄	—	106	4	no	—
282	D₄	—	106	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	106	4	no	—
291	C₂×C₄	—	424	16	no	—
292	C₂×C₄	—	424	8	no	—
293	C₂×C₄	—	212	4	no	—
294	C₂×C₄	—	212	4	no	—
295	C₂×C₄	—	212	4	no	—
296	C₂×C₄	—	212	4	no	—
297	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
306	C₈	—	2	2	no	—
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	C₄⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
309	C₂²	—	106	8	no	—
310	C₂²	—	212	8	no	—
311	C₂²	—	212	4	no	—
312	C₂²	—	212	4	no	—
313	C₂²	—	212	8	no	—
314	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	Q₈×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
318	C₂²	#16811428	1	2	yes	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	424	4	no	—
324	C₄	—	212	4	no	—
325	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#16811103	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#16811278	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#16811333	1	1	yes	characteristic
329	C₂	—	212	8	no	—
330	C₂	C₄⋊C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₄×#13133239	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20283568	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#20286402	1	2	yes	—
334	C₂	#20287583	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₈×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₈×C₄⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22682
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277626	C₂	semidirect
4. #20275448	C₂	semidirect
5. #20274979	C₂	semidirect
6. #20274879	C₂	semidirect
7. #20274726	C₂	semidirect
8. C₈×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	semidirect
13. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
39. C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
46. #13133151	C₂×C₄	semidirect
49. #13133139	C₂×C₄	semidirect
61. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
104. D₄₂₄	C₄⋊C₄	semidirect
169. C₈×C₄⋊C₄	D₅₃	semidirect
197. C₅₃	#22682	semidirect
226. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20277626	2
#20275448	2
#20274979	2
#20274879	2
#20274726	2
C₈×C₄⋊C₄×C₅₃	2
#22682	53