Subgroups — #27402532

Order 13568.

910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₁₆×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277636	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275449	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274985	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274730	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₈×C₄⋊Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
10	Q₁₆×Dic₅₃	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810522	—	2	4	no	—
17	#16810522	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810489	—	2	2	no	—
19	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#103×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
31	Q₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
32	Q₈×Dic₅₃	—	4	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
39	#13133151	—	2	4	no	—
40	#13133149	—	4	2	no	—
41	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
42	#13133141	—	2	8	no	—
43	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	#13133124	—	2	2	no	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	#13133124	—	2	4	no	—
47	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
48	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×Q₁₆×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×Q₁₆×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#103×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	Q₁₆×C₅₃	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
79	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
89	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄×Dic₅₃	—	4	8	no	—
99	C₂×#88322	—	2	2	no	—
100	C₂×#88322	—	2	2	no	—
101	C₂×#88322	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
103	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
106	Q₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	#135	1	4	yes	—
131	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
133	#88322	—	4	2	no	—
134	#22685	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₅₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
140	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
141	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
147	C₄×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
148	Dic₅₃	—	2	4	no	—
149	Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	Dic₅₃	—	8	4	no	—
151	C₂×C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
152	C₂×C₄×Q₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic
153	#2351	—	53	2	no	—
154	#1942	—	53	2	no	—
155	#1865	—	53	4	no	—
156	#1846	—	53	1	no	—
157	#1805	—	53	2	no	—
158	C₈×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
159	C₂×C₅₃	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₅₃	#2950	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₅₃	#3285	1	2	yes	—
163	C₂×C₅₃	#3383	1	2	yes	—
164	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
166	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
167	C₄×Q₁₆	—	106	8	no	—
168	C₄×Q₁₆	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
169	C₂×#107	—	53	2	no	—
170	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂×#106	—	53	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
173	C₂×#103	—	53	4	no	—
174	C₂×#103	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
176	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	#389	—	53	4	no	—
178	#389	—	106	4	no	—
179	#382	—	53	2	no	—
180	#382	—	106	2	no	—
181	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
182	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
183	#340	—	53	4	no	—
184	#336	—	53	2	no	—
185	C₅₃	#22685	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
186	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
187	C₂×Q₁₆	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
188	C₂×Q₁₆	D₂₁₂	1	4	yes	—
189	C₂×Q₁₆	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
190	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
191	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
195	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
196	C₄×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
206	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#107	—	106	4	no	—
208	#107	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
209	#106	—	212	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
211	#103	—	106	8	no	—
212	#103	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
213	C₄×C₈	—	106	4	no	—
214	C₄×C₈	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
215	#95	—	53	1	no	—
216	#95	—	53	1	no	—
217	#95	—	106	4	no	—
218	#95	—	106	2	no	—
219	#95	—	106	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
224	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
225	C₂×Q₈	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
231	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	C₄⋊Dic₅₃	1	16	yes	complemented
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	106	2	no	—
238	C₂×C₈	—	106	2	no	—
239	C₂×C₈	—	106	2	no	—
240	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	106	2	no	—
254	C₄²	—	106	2	no	—
255	C₄²	—	212	8	no	—
256	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	2	4	no	—
260	Q₈	—	2	4	no	—
261	Q₈	—	2	4	no	—
262	Q₈	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	53	4	no	—
271	C₂×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂×C₄	—	106	2	no	—
273	C₂×C₄	—	106	2	no	—
274	C₂×C₄	—	106	2	no	—
275	C₂×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂×C₄	—	212	4	no	—
277	C₂×C₄	—	212	4	no	—
278	C₂×C₄	—	212	4	no	—
279	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	212	2	no	—
289	C₈	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
290	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	D₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#135×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂²	#16811436	1	2	yes	—
295	C₄	—	2	2	no	—
296	C₄	—	2	8	no	—
297	C₄	—	2	2	no	—
298	C₄	—	4	4	no	—
299	C₄	—	106	4	no	—
300	C₄	—	424	4	no	—
301	C₄	—	212	2	no	—
302	C₄	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#16811106	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#16811277	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#16811330	1	1	yes	characteristic
306	C₂	D₄×C₄⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#135×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#20283583	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20286457	1	2	yes	—
310	C₂	#20287606	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×Q₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22685
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×Q₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
26. C₄×Q₁₆×C₅₃	C₄	semidirect
78. Q₁₆×C₅₃	C₄⋊C₄	semidirect
168. C₄×Q₁₆	Dic₅₃	semidirect
185. C₅₃	#22685	semidirect
234. Q₁₆	C₄⋊Dic₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₁₆×Dic₅₃	2
#20277636	2
#20275449	2
#20274985	2
#20274879	2
#20274730	2
C₈×C₄⋊Dic₅₃	2
C₂×C₄×Q₁₆×C₅₃	2
#22685	53