Subgroups — #27402926

Order 13568.

750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277673	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275486	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275483	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275472	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274876	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20274870	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#106×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#106×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄×#106×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₈×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810527	—	2	2	no	—
25	#16810507	—	2	2	no	—
26	#16810506	—	2	2	no	—
27	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#11719919	—	2	2	no	—
33	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₄×Dic₁₀₆	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719919	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719919	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#13133151	—	4	2	no	—
57	#13133150	—	4	2	no	—
58	#13133149	—	2	2	no	—
59	#13133149	—	2	2	no	—
60	#13133148	—	4	2	no	—
61	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#13133124	—	2	2	no	—
67	#13133124	—	2	2	no	—
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	#13133124	—	2	2	no	—
70	#13133124	—	2	2	no	—
71	#13133124	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
79	#106×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
106	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	#11719919	—	4	4	no	—
114	#11719919	—	8	2	no	—
115	#11719919	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
116	#11719919	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
119	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂×#88322	—	2	1	no	—
124	C₂×#88322	—	2	1	no	—
125	C₂×#88322	—	2	1	no	—
126	C₂×#88322	—	2	1	no	—
127	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×Dic₅₃	#135	1	4	yes	—
160	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
161	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₈×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
163	#88322	—	2	2	no	—
164	#88322	—	2	2	no	—
165	#22725	—	53	1	no	maximal, Sylow
166	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
170	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
171	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
175	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₅₃	#557	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	Q₈²	1	1	yes	characteristic
179	Dic₅₃	—	2	2	no	—
180	Dic₅₃	—	2	2	no	—
181	Dic₅₃	—	2	2	no	—
182	Dic₅₃	—	8	2	no	—
183	Dic₅₃	—	8	2	no	—
184	Dic₅₃	#427	1	4	yes	—
185	C₂×C₈×Q₈	—	53	1	no	—
186	#2355	—	53	2	no	—
187	#1949	—	53	2	no	—
188	#1949	—	53	2	no	—
189	#1947	—	53	2	no	—
190	#1846	—	53	1	no	—
191	#1846	—	53	1	no	—
192	#1844	—	53	1	no	—
193	C₄×#106	—	53	1	no	—
194	C₄×#106	—	53	1	no	—
195	C₄×#106	D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#2912	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#3381	1	2	yes	—
200	C₂×C₅₃	#3394	1	2	yes	—
201	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
202	C₈×Q₈	—	53	8	no	—
203	C₂×#107	—	53	2	no	—
204	C₂×#107	—	53	2	no	—
205	C₂×#106	—	53	1	no	—
206	C₂×#106	—	53	1	no	—
207	C₂×#106	—	53	2	no	—
208	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
211	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
212	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
213	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
215	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#391	—	106	2	no	—
217	#387	—	106	2	no	—
218	#387	—	106	2	no	—
219	#384	—	53	2	no	—
220	#382	—	53	2	no	—
221	#382	—	53	2	no	—
222	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
225	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
226	#340	—	53	2	no	—
227	#340	—	53	2	no	—
228	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
229	C₅₃	#22725	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
230	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
232	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
236	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
249	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	#107	—	212	2	no	—
253	#107	—	212	2	no	—
254	#106	—	2	2	no	—
255	#106	—	106	2	no	—
256	#106	—	106	2	no	—
257	#106	—	212	2	no	—
258	#106	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
259	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
260	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
261	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
262	C₄×C₈	—	53	4	no	—
263	C₄×C₈	—	53	4	no	—
264	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
265	#95	—	2	2	no	—
266	#95	—	106	2	no	—
267	#95	—	106	2	no	—
268	#95	—	106	2	no	—
269	#95	—	106	2	no	—
270	#95	—	106	2	no	—
271	#95	—	106	2	no	—
272	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	—	2	1	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	53	2	no	—
288	C₂×C₈	—	53	2	no	—
289	C₂×C₈	—	106	1	no	—
290	C₂×C₈	—	106	1	no	—
291	C₂×C₈	—	106	1	no	—
292	C₂×C₈	—	106	1	no	—
293	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
309	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
310	C₄²	—	8	2	no	—
311	C₄²	—	53	2	no	—
312	C₄²	—	53	2	no	—
313	C₄²	—	53	2	no	—
314	C₄²	—	53	2	no	—
315	C₄²	—	424	2	no	—
316	C₄²	—	212	4	no	—
317	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
318	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	106	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	53	2	no	—
330	C₂×C₄	—	53	4	no	—
331	C₂×C₄	—	53	2	no	—
332	C₂×C₄	—	53	2	no	—
333	C₂×C₄	—	53	2	no	—
334	C₂×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	106	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	106	2	no	—
353	C₈	—	106	2	no	—
354	C₈	C₄×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	D₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#16811294	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#135×D₅₃	1	2	yes	—
359	C₂²	#16811429	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	8	2	no	—
364	C₄	—	53	4	no	—
365	C₄	—	106	2	no	—
366	C₄	—	106	2	no	—
367	C₄	—	106	2	no	—
368	C₄	—	424	2	no	—
369	C₄	—	424	2	no	—
370	C₄	C₂×C₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#16811103	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#16811351	1	1	yes	characteristic
373	C₄	Q₈×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₄⋊C₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#427×D₅₃	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20283306	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20287591	1	2	yes	—
378	C₂	#20287712	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#106×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#106	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22725
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#106

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₈×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
79. #106×C₅₃	Q₈	semidirect
229. C₅₃	#22725	semidirect
258. #106	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×Dic₁₀₆	2
#20277673	2
#20275486	2
#20275483	2
#20275472	2
#20274879	2
#20274876	2
#20274870	2
#106×Dic₅₃	2
C₄×#106×C₅₃	2
#22725	53