Subgroups — #27403045

Order 13568.

734 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277667	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275482	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275481	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275477	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20274607	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#13133149	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20274603	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₈×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810527	—	2	2	no	—
23	#16810508	—	2	2	no	—
24	#16810505	—	2	2	no	—
25	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810474	—	2	2	no	—
31	#16810386	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810386	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#382	C₂²	1	2	yes	—
37	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₄×Dic₁₀₆	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719919	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719919	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#13133150	—	2	4	no	—
58	#13133149	—	2	4	no	—
59	#13133148	—	2	4	no	—
60	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#13133146	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#13133124	—	2	2	no	—
66	#13133124	—	2	2	no	—
67	#13133124	—	2	2	no	—
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	#13133124	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
77	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₄⋊Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
107	#11719919	—	4	4	no	—
108	#11719919	—	8	2	no	—
109	#11719919	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
110	#11719919	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×Dic₅₃	#135	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	#135	1	2	yes	—
154	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
157	#88322	—	2	2	no	—
158	#88322	—	2	2	no	—
159	#22741	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#548	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₅₃	#557	1	2	yes	—
172	Dic₅₃	—	2	2	no	—
173	Dic₅₃	—	2	2	no	—
174	Dic₅₃	—	2	2	no	—
175	Dic₅₃	—	4	4	no	—
176	Dic₅₃	—	8	2	no	—
177	Dic₅₃	#427	1	4	yes	—
178	C₂×C₈×Q₈	—	53	1	no	—
179	#2355	—	53	2	no	—
180	#1949	—	53	2	no	—
181	#1949	—	53	2	no	—
182	#1948	—	53	2	no	—
183	#1835	—	53	1	no	—
184	#1835	D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#1834	—	53	1	no	—
186	C₄×#107	—	53	1	no	—
187	C₄×#106	—	53	1	no	—
188	C₄×#106	—	53	1	no	—
189	C₂×C₅₃	#2351	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#2912	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#3360	1	2	yes	—
193	C₂×C₅₃	#3365	1	2	yes	—
194	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
195	C₈×Q₈	—	53	8	no	—
196	C₂×#107	—	53	2	no	—
197	C₂×#106	—	53	2	no	—
198	C₂×#106	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
204	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	#391	—	106	2	no	—
206	#387	—	106	2	no	—
207	#387	—	106	2	no	—
208	#384	—	53	2	no	—
209	#382	—	53	2	no	—
210	#382	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
212	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
213	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
214	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
215	#340	—	53	1	no	—
216	#340	—	53	1	no	—
217	#340	—	53	2	no	—
218	#340	—	53	2	no	—
219	#340	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	#340	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	C₅₃	#22741	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
223	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
226	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
229	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
240	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
241	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	#107	—	106	4	no	—
246	#106	—	106	4	no	—
247	#106	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
249	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
250	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
251	C₄×C₈	—	53	4	no	—
252	C₄×C₈	—	53	4	no	—
253	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
254	#95	—	2	2	no	—
255	#95	—	2	2	no	—
256	#95	—	106	2	no	—
257	#95	—	106	2	no	—
258	#95	—	106	2	no	—
259	#95	—	106	2	no	—
260	#95	—	106	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	53	2	no	—
278	C₂×C₈	—	53	2	no	—
279	C₂×C₈	—	106	2	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
296	C₄²	—	53	2	no	—
297	C₄²	—	53	2	no	—
298	C₄²	—	53	2	no	—
299	C₄²	—	53	2	no	—
300	C₄²	—	424	2	no	—
301	C₄²	—	424	2	no	—
302	C₄²	—	212	4	no	—
303	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
304	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	106	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	53	2	no	—
317	C₂×C₄	—	53	2	no	—
318	C₂×C₄	—	53	2	no	—
319	C₂×C₄	—	53	2	no	—
320	C₂×C₄	—	53	2	no	—
321	C₂×C₄	—	53	2	no	—
322	C₂×C₄	—	106	1	no	—
323	C₂×C₄	—	106	1	no	—
324	C₂×C₄	—	106	2	no	—
325	C₂×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	4	no	—
327	C₂×C₄	—	212	2	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	106	2	no	—
341	C₈	—	106	2	no	—
342	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#16811281	1	2	yes	—
344	C₂²	#135×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#135×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#16811430	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	—	8	2	no	—
351	C₄	—	53	4	no	—
352	C₄	—	106	2	no	—
353	C₄	—	106	2	no	—
354	C₄	—	106	2	no	—
355	C₄	—	424	2	no	—
356	C₄	—	212	4	no	—
357	C₄	#16811091	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#16811100	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#16811350	1	2	yes	—
360	C₂	#20277632	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#427×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20283307	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20287361	1	2	yes	—
364	C₂	#20287408	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1835	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1835	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22741
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1835

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₈×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
222. C₅₃	#22741	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×Dic₁₀₆	2
#20277667	2
#20275482	2
#20275481	2
#20275477	2
#20274844	2
#20274841	2
#20274607	2
C₄×#13133149	2
#20274603	2
C₅₃×#1835	2
#22741	53