Subgroups — #27403906

Order 13568.

754 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277678	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275586	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275357	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274731	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274612	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₅₃×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×Dic₂₁₂	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810529	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810504	—	2	4	no	—
19	#16810490	—	2	2	no	—
20	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810468	—	2	2	no	—
23	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
34	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
40	#13133151	—	4	2	no	—
41	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	#13133149	—	2	4	no	—
43	#13133142	—	4	4	no	—
44	#13133142	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	#13133124	—	2	4	no	—
47	#13133124	—	2	4	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	#13133124	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
57	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
68	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
69	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
70	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
71	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
72	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
82	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
87	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
88	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
90	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	#11719919	—	2	8	no	—
92	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
93	C₄×Dic₅₃	—	4	8	no	—
94	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
117	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
118	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
119	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
120	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
121	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	—
124	#22815	—	53	1	no	maximal, Sylow
125	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
129	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
130	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
133	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
134	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
135	C₄×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
136	C₄×C₅₃	#556	1	1	yes	characteristic
137	Dic₅₃	—	4	4	no	—
138	Dic₅₃	—	4	4	no	—
139	Dic₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
141	#2356	—	53	2	no	—
142	#1971	—	53	2	no	—
143	#1928	—	53	4	no	—
144	#1846	—	53	1	no	—
145	#1805	—	53	2	no	—
146	#1776	—	53	2	no	—
147	#1770	D₅₃	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₅₃	#2354	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₅₃	#2943	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₅₃	#2950	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₅₃	#3352	1	2	yes	—
152	C₂×C₅₃	#3402	1	2	yes	—
153	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
154	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
155	C₄×Q₁₆	—	53	8	no	—
156	C₂×#107	—	53	1	no	—
157	C₂×#107	—	53	2	no	—
158	C₂×#106	—	53	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	C₂×#103	—	53	2	no	—
161	C₂×#103	—	53	4	no	—
162	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	#391	—	53	4	no	—
165	#387	—	106	4	no	—
166	#383	—	106	2	no	—
167	#382	—	53	2	no	—
168	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
169	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
170	#376	—	106	2	no	—
171	#340	—	53	4	no	—
172	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
173	C₅₃	#22815	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
175	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
176	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
177	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
178	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
182	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	#107	—	53	4	no	—
192	#107	—	212	2	no	—
193	#106	—	106	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	#103	—	53	8	no	—
196	#103	—	212	4	no	—
197	#97	—	2	4	no	—
198	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
199	#95	—	106	2	no	—
200	#95	—	106	4	no	—
201	#95	—	106	4	no	—
202	#95	—	106	2	no	—
203	#95	—	106	4	no	—
204	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
205	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	Q₁₆	—	106	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	106	8	no	—
237	C₄²	—	212	8	no	—
238	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	106	4	no	—
242	Q₈	—	106	4	no	—
243	Q₈	—	212	2	no	—
244	Q₈	—	212	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	106	4	no	—
251	C₂×C₄	—	106	4	no	—
252	C₂×C₄	—	212	4	no	—
253	C₂×C₄	—	212	4	no	—
254	C₂×C₄	—	212	4	no	—
255	C₂×C₄	—	212	2	no	—
256	C₂×C₄	—	212	2	no	—
257	C₂×C₄	—	212	4	no	—
258	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
266	C₈	—	2	2	no	—
267	C₈	—	4	2	no	—
268	C₈	#13133175	1	4	yes	—
269	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	#16811277	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	#16811295	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
273	C₂²	#16811440	1	2	yes	—
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	4	4	no	—
277	C₄	—	424	4	no	—
278	C₄	—	212	4	no	—
279	C₄	—	212	4	no	—
280	C₄	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
281	C₄	#16811103	1	1	yes	characteristic
282	C₄	#16811338	1	1	yes	characteristic
283	C₄	#16811346	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#20277662	1	1	yes	characteristic
285	C₂	#20283517	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#20283584	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#20287289	1	2	yes	—
288	C₂	#20287796	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1770	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1770	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22815
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ #1770

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₄×Dic₂₁₂	C₄	semidirect
173. C₅₃	#22815	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×Dic₂₁₂	2
#20277678	2
#20275586	2
#20275357	2
#20274879	2
#20274731	2
#20274612	2
C₅₃×#1770	2
#22815	53