Subgroups — #27403912

Order 13568.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275335	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275333	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274876	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274724	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20274614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20274583	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1776	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133179	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810705	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810524	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810514	—	2	2	no	—
26	#16810512	—	2	2	no	—
27	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810485	—	2	2	no	—
29	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#11719919	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
32	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810377	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
44	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#13133179	—	2	4	no	—
48	#13133179	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#11719919	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
53	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
54	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
55	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#13133150	—	4	2	no	—
60	#13133149	—	2	2	no	—
61	#13133146	—	2	2	no	—
62	#13133139	—	4	2	no	—
63	#13133137	—	4	2	no	—
64	#13133137	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#13133127	—	2	2	no	—
66	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#13133124	—	2	2	no	—
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	#13133124	—	2	2	no	—
70	#13133124	D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
79	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
80	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
112	#11719921	—	2	8	no	—
113	#11719921	—	4	4	no	—
114	#11719921	—	4	4	no	—
115	#11719921	—	8	2	no	—
116	#11719921	—	8	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	#11719919	—	4	2	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
123	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
125	C₂×#88322	—	2	1	no	—
126	C₂×#88322	—	2	1	no	—
127	C₂×#88322	—	2	1	no	—
128	C₂×#88322	—	2	1	no	—
129	C₂×#88322	—	2	1	no	—
130	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	D₄₂₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	D₂₁₂	—	2	4	no	—
166	D₂₁₂	—	2	4	no	—
167	D₂₁₂	—	4	2	no	—
168	D₂₁₂	—	4	2	no	—
169	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
170	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
171	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	—
172	#88322	—	2	2	no	—
173	#88322	—	4	1	no	—
174	#22816	—	53	1	no	maximal, Sylow
175	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
179	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
180	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
181	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
183	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
189	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
190	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
191	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₅₃	#556	1	1	yes	characteristic
194	Dic₅₃	—	2	2	no	—
195	Dic₅₃	—	2	2	no	—
196	Dic₅₃	—	4	2	no	—
197	Dic₅₃	—	8	2	no	—
198	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
199	#2357	—	53	2	no	—
200	#1972	—	53	1	no	—
201	#1972	—	53	1	no	—
202	#1925	—	53	2	no	—
203	#1925	—	53	2	no	—
204	#1846	—	53	1	no	—
205	#1804	—	53	2	no	—
206	#1776	—	53	1	no	—
207	#1776	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
208	#1770	—	53	1	no	—
209	C₂×C₅₃	#2354	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	#2943	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₅₃	#3355	1	2	yes	—
213	C₂×C₅₃	#3403	1	2	yes	—
214	D₅₃	—	8	4	no	—
215	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
216	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
217	C₄×D₈	—	53	8	no	—
218	C₂×#107	—	53	2	no	—
219	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×#106	—	53	1	no	—
221	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
223	C₂×#102	—	53	2	no	—
224	C₂×#102	—	53	2	no	—
225	C₂×#102	—	53	2	no	—
226	C₂×#97	—	53	1	no	—
227	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
229	#390	—	53	2	no	—
230	#390	—	53	2	no	—
231	#388	—	106	2	no	—
232	#388	—	106	2	no	—
233	#382	—	53	2	no	—
234	#381	—	106	2	no	—
235	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
236	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
237	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
239	#340	—	53	2	no	—
240	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
241	#336	—	53	1	no	—
242	#336	—	53	1	no	—
243	C₅₃	#22816	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
244	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
245	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
246	C₂×D₈	—	53	4	no	—
247	C₂×D₈	—	106	2	no	—
248	C₂×D₈	—	106	2	no	—
249	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
250	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
251	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₄×D₄	—	53	8	no	—
254	C₄×D₄	—	106	4	no	—
255	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
260	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
261	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
262	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
264	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
266	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
267	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
268	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	#107	—	212	2	no	—
270	#107	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
271	#106	—	2	2	no	—
272	#106	—	106	2	no	—
273	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
274	#102	—	53	8	no	—
275	#102	—	212	2	no	—
276	#102	—	212	2	no	—
277	#97	—	2	2	no	—
278	#97	—	106	2	no	—
279	C₄×C₈	—	53	4	no	—
280	#95	—	2	2	no	—
281	#95	—	53	2	no	—
282	#95	—	106	2	no	—
283	#95	—	106	2	no	—
284	#95	—	106	2	no	—
285	C₂⁴	—	106	2	no	—
286	C₂×D₄	—	53	4	no	—
287	C₂×D₄	—	106	2	no	—
288	C₂×D₄	—	106	2	no	—
289	C₂×D₄	—	106	2	no	—
290	C₂×D₄	—	106	2	no	—
291	C₂×D₄	—	106	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
301	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	D₈	—	106	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	1	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	2	1	no	—
307	C₂×C₈	—	53	2	no	—
308	C₂×C₈	—	106	1	no	—
309	C₂×C₈	—	106	1	no	—
310	C₂×C₈	—	106	1	no	—
311	C₂×C₈	—	106	1	no	—
312	C₂×C₈	—	106	1	no	—
313	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
315	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
322	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
323	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
328	C₄²	—	2	1	no	—
329	C₄²	—	2	1	no	—
330	C₄²	—	8	2	no	—
331	C₄²	—	53	2	no	—
332	C₄²	—	53	2	no	—
333	C₄²	—	106	1	no	—
334	C₄²	—	106	1	no	—
335	C₄²	—	424	2	no	—
336	C₂³	—	106	4	no	—
337	C₂³	—	212	2	no	—
338	C₂³	—	212	2	no	—
339	C₂³	—	212	2	no	—
340	C₂³	—	212	2	no	—
341	C₂³	—	212	2	no	—
342	C₂³	—	212	2	no	—
343	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	D₄	—	106	4	no	—
345	D₄	—	106	4	no	—
346	D₄	—	212	2	no	—
347	D₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	53	2	no	—
358	C₂×C₄	—	53	2	no	—
359	C₂×C₄	—	106	2	no	—
360	C₂×C₄	—	106	2	no	—
361	C₂×C₄	—	106	2	no	—
362	C₂×C₄	—	106	2	no	—
363	C₂×C₄	—	106	2	no	—
364	C₂×C₄	—	424	8	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	—	212	2	no	—
367	C₂×C₄	—	212	2	no	—
368	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#13133265	1	1	yes	characteristic
374	C₈	—	4	1	no	—
375	C₈	—	106	2	no	—
376	C₈	—	212	1	no	—
377	C₈	#13133174	1	4	yes	—
378	C₂²	—	424	2	no	—
379	C₂²	—	424	2	no	—
380	C₂²	—	424	2	no	—
381	C₂²	—	424	2	no	—
382	C₂²	—	212	4	no	—
383	C₂²	—	212	4	no	—
384	C₂²	—	212	4	no	—
385	C₂²	C₄×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#16811274	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#16811294	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#16811422	1	2	yes	—
389	C₂²	#16811427	1	2	yes	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	—	106	2	no	—
394	C₄	—	106	2	no	—
395	C₄	—	424	2	no	—
396	C₄	—	212	2	no	—
397	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#16811105	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#16811336	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#16811345	1	1	yes	characteristic
401	C₂	—	424	4	no	—
402	C₂	#20277660	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#20283514	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#20283564	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#20287317	1	2	yes	—
406	C₂	#20287804	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1776	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1776	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22816
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1776

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277684	C₂	semidirect
5. #20275335	C₂	semidirect
6. #20275333	C₂	semidirect
7. #20274876	C₂	semidirect
8. #20274724	C₂	semidirect
9. #20274614	C₂	semidirect
10. #20274583	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1776	C₂	semidirect
14. #16810705	C₄	semidirect
207. #1776	D₅₃	semidirect
243. C₅₃	#22816	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810705	2
#20277684	2
#20275591	2
#20275589	2
#20275335	2
#20275333	2
#20274876	2
#20274724	2
#20274614	2
#20274583	2
C₅₃×#1776	2
#22816	53