Subgroups — #27403914

Order 13568.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277686	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275591	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275336	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274726	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274612	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810525	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810513	—	2	4	no	—
19	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810485	—	2	2	no	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810470	—	2	2	no	—
23	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
32	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
33	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
35	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	#13133151	—	4	2	no	—
43	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#13133149	—	2	4	no	—
45	#13133139	—	4	4	no	—
46	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	#13133124	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
57	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
68	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
69	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
70	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
75	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
84	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
89	#11719921	—	2	8	no	—
90	#11719921	—	4	8	no	—
91	#11719921	—	8	4	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₄×Dic₅₃	—	8	4	no	—
97	D₄₂₄	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
122	D₂₁₂	—	2	4	no	—
123	D₂₁₂	—	2	4	no	—
124	D₂₁₂	—	4	2	no	—
125	D₂₁₂	—	4	2	no	—
126	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
127	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	—
130	#22816	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
135	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
136	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
141	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₅₃	#520	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
147	C₄×C₅₃	#556	1	1	yes	characteristic
148	Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	Dic₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
151	#2357	—	53	2	no	—
152	#1972	—	53	2	no	—
153	#1925	—	53	4	no	—
154	#1846	—	53	1	no	—
155	#1804	—	53	2	no	—
156	#1776	—	53	2	no	—
157	#1770	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
158	C₂×C₅₃	#2354	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	#2943	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₅₃	#3355	1	2	yes	—
162	C₂×C₅₃	#3403	1	2	yes	—
163	D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
165	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
166	C₄×D₈	—	53	8	no	—
167	C₂×#107	—	53	1	no	—
168	C₂×#107	—	53	2	no	—
169	C₂×#106	—	53	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂×#102	—	53	2	no	—
172	C₂×#102	—	53	4	no	—
173	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
174	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
175	#390	—	53	4	no	—
176	#388	—	106	4	no	—
177	#382	—	53	2	no	—
178	#381	—	106	2	no	—
179	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
180	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
182	#340	—	53	4	no	—
183	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₅₃	#22816	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
185	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
186	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
187	C₂×D₈	—	53	4	no	—
188	C₂×D₈	—	106	2	no	—
189	C₂×D₈	—	106	2	no	—
190	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₄×D₄	—	53	8	no	—
194	C₄×D₄	—	106	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#107	—	53	4	no	—
205	#107	—	212	2	no	—
206	#106	—	106	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
208	#102	—	53	8	no	—
209	#102	—	212	4	no	—
210	#97	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
212	#95	—	106	2	no	—
213	#95	—	106	4	no	—
214	#95	—	106	2	no	—
215	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
216	C₂⁴	—	106	2	no	—
217	C₂×D₄	—	53	4	no	—
218	C₂×D₄	—	106	2	no	—
219	C₂×D₄	—	106	2	no	—
220	C₂×D₄	—	106	2	no	—
221	C₂×D₄	—	106	2	no	—
222	C₂×D₄	—	106	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	D₈	—	106	8	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	424	4	no	—
252	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
254	C₂³	—	106	4	no	—
255	C₂³	—	212	2	no	—
256	C₂³	—	212	2	no	—
257	C₂³	—	212	4	no	—
258	C₂³	—	212	4	no	—
259	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
260	D₄	—	106	4	no	—
261	D₄	—	106	4	no	—
262	D₄	—	212	2	no	—
263	D₄	—	212	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	106	4	no	—
270	C₂×C₄	—	424	8	no	—
271	C₂×C₄	—	212	4	no	—
272	C₂×C₄	—	212	4	no	—
273	C₂×C₄	—	212	4	no	—
274	C₂×C₄	—	212	4	no	—
275	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
283	C₈	—	2	2	no	—
284	C₈	—	4	2	no	—
285	C₈	#13133175	1	4	yes	—
286	C₂²	—	424	4	no	—
287	C₂²	—	424	4	no	—
288	C₂²	—	212	4	no	—
289	C₂²	—	212	4	no	—
290	C₂²	—	212	4	no	—
291	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	#16811277	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#16811295	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
295	C₂²	#16811428	1	2	yes	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	2	no	—
298	C₄	—	4	4	no	—
299	C₄	—	424	4	no	—
300	C₄	—	212	4	no	—
301	C₄	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
302	C₄	#16811103	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#16811338	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#16811346	1	1	yes	characteristic
305	C₂	—	424	4	no	—
306	C₂	#20277662	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#20283517	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#20283568	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20287320	1	2	yes	—
310	C₂	#20287805	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1770	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1770	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#22816
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ #1770

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277686	C₂	semidirect
4. #20275336	C₂	semidirect
5. #20274879	C₂	semidirect
6. #20274726	C₂	semidirect
7. #20274612	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1770	C₂	semidirect
11. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
157. #1770	D₅₃	semidirect
184. C₅₃	#22816	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20277686	2
#20275591	2
#20275336	2
#20274879	2
#20274726	2
#20274612	2
C₅₃×#1770	2
#22816	53